题目
设当 x arrow +infty 时，f(x)，g(x) 都是无穷大，则当 x arrow +infty 时，下列结论正确的是 A. f(x)- g(x) 是无穷小B. f(x)+ g(x) 是无穷大C. (g(x))/(f(x)) arrow 1D. (f(x)+ g(x))/(f(x)g(x)) 是无穷小
设当 $x \rightarrow +\infty$ 时，$f(x)$，$g(x)$ 都是无穷大，则当 $x \rightarrow +\infty$ 时，下列结论正确的是
- A. $f(x)- g(x)$ 是无穷小
- B. $f(x)+ g(x)$ 是无穷大
- C. $\frac{g(x)}{f(x)} \rightarrow 1$
- D. $\frac{f(x)+ g(x)}{f(x)g(x)}$ 是无穷小
题目解答
答案
**答案：B, D**
**解析：**
- **选项A：** $f(x) - g(x)$ 可能为无穷大（如 $f(x) = x^2$, $g(x) = x$），不一定是无穷小，错误。
- **选项B：** 两无穷大之和仍为无穷大（如 $f(x) = x$, $g(x) = x$），正确。
- **选项C：** $\frac{g(x)}{f(x)}$ 的极限不一定为1（如 $f(x) = x^2$, $g(x) = x$），错误。
- **选项D：** $\frac{f(x) + g(x)}{f(x)g(x)} = \frac{1}{g(x)} + \frac{1}{f(x)}$，两无穷小之和为无穷小，正确。
**答案：B, D**
解析
考查要点：本题主要考查无穷大运算的性质，特别是两个无穷大相加、相减、相除以及组合后的极限行为判断。
解题核心思路：
- 无穷大相加：两个无穷大的和仍为无穷大；
- 无穷大相减：结果可能为无穷大、有限值或不确定，需具体分析；
- 无穷大相除：结果取决于两无穷大的增长速率，可能为无穷大、有限值或0；
- 组合运算：通过拆分或变形，将复杂表达式转化为已知性质的简单形式（如无穷小的和）。
破题关键点：
- 选项B：直接应用无穷大相加的性质；
- 选项D：将分式拆分为两个无穷小的和，利用无穷小的运算性质判断。
选项A：$f(x) - g(x)$ 是无穷小
- 反例：若$f(x) = x^2$，$g(x) = x$，则$f(x) - g(x) = x^2 - x$。当$x \rightarrow +\infty$时，$x^2 - x \rightarrow +\infty$，说明差仍为无穷大。
- 结论：错误。
选项B：$f(x) + g(x)$ 是无穷大
- 性质：两个无穷大的和仍为无穷大。例如$f(x) = x$，$g(x) = x$，则$f(x) + g(x) = 2x \rightarrow +\infty$。
- 结论：正确。
选项C：$\frac{g(x)}{f(x)} \rightarrow 1$
- 反例：若$f(x) = x^2$，$g(x) = x$，则$\frac{g(x)}{f(x)} = \frac{1}{x} \rightarrow 0$，极限不为1。
- 结论：错误。
选项D：$\frac{f(x) + g(x)}{f(x)g(x)}$ 是无穷小
- 变形：$\frac{f(x) + g(x)}{f(x)g(x)} = \frac{1}{g(x)} + \frac{1}{f(x)}$。
- 性质：当$x \rightarrow +\infty$时，$\frac{1}{f(x)}$和$\frac{1}{g(x)}$均为无穷小，它们的和仍为无穷小。
- 结论：正确。