(1)求 (int )_(0)^dfrac (pi {2)}sqrt (1-sin 2x)dx;

步骤 1：化简被积函数
首先，我们注意到被积函数 $\sqrt{1-\sin 2x}$ 可以通过三角恒等变换进行化简。利用三角恒等式 $\sin 2x = 2\sin x \cos x$，我们可以将被积函数写为 $\sqrt{1-2\sin x \cos x}$。进一步，利用三角恒等式 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$，可以将被积函数写为 $\sqrt{\sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x}$，即 $\sqrt{(\sin x - \cos x)^2}$。因此，被积函数可以化简为 $|\sin x - \cos x|$。

步骤 2：确定积分区间
在区间 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上，$\sin x$ 和 $\cos x$ 的值都是非负的。由于 $\sin x$ 在 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上单调递增，而 $\cos x$ 在 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上单调递减，因此在 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 上 $\sin x \leq \cos x$，而在 $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$ 上 $\sin x \geq \cos x$。因此，$|\sin x - \cos x|$ 在 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 上等于 $\cos x - \sin x$，而在 $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$ 上等于 $\sin x - \cos x$。

步骤 3：分段积分
根据上述分析，原积分可以分为两部分进行计算：
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin 2x} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x - \cos x) dx
\]
计算第一个积分：
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx = [\sin x + \cos x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = (\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4}) - (\sin 0 + \cos 0) = \sqrt{2} - 1
\]
计算第二个积分：
\[
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x - \cos x) dx = [-\cos x - \sin x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = (-\cos \frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{2}) - (-\cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{4}) = 1 - \sqrt{2}
\]
将两部分积分结果相加，得到原积分的值：
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin 2x} dx = (\sqrt{2} - 1) + (1 - \sqrt{2}) = 2(\sqrt{2} - 1)
\]