题目

15、曲线y=e^sqrt(x)的拐点是____。

15、曲线$y=e^{\sqrt{x}}$的拐点是____。

题目解答

答案

求导数： 一阶导数 $ y' = \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} $， 二阶导数 $ y'' = \frac{e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x} - 1)}{4x\sqrt{x}} $。 令 $ y'' = 0 $，得 $ \sqrt{x} = 1 $，即 $ x = 1 $。 分析符号： - 当 $ x < 1 $ 时，$ y'' < 0 $； - 当 $ x > 1 $ 时，$ y'' > 0 $。 故 $ x = 1 $ 处凹凸性改变，为拐点。 对应 $ y $ 值为 $ e $。 **答案：** $\boxed{(1, e)}$

解析

拐点是曲线凹凸性发生改变的点。解题的核心思路是：

  1. 求二阶导数，找到可能使二阶导数为零或不存在的点；
  2. 分析二阶导数的符号变化，判断凹凸性是否改变；
  3. 确认满足条件的点即为拐点。

关键点：

  • 二阶导数的求解需正确应用链式法则和商的导数法则；
  • 符号分析需结合二阶导数的正负判断凹凸性变化。

求导数

  1. 一阶导数：
    由链式法则，$y = e^{\sqrt{x}}$，则
    $y' = e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}.$

  2. 二阶导数：
    对$y'$应用商的导数法则：
    $y'' = \frac{(2\sqrt{x}) \cdot \left( e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \right) - e^{\sqrt{x}} \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{x}} \right)}{(2\sqrt{x})^2} = \frac{e^{\sqrt{x}} (\sqrt{x} - 1)}{4x\sqrt{x}}.$

求解拐点

  1. 令$y'' = 0$：
    分子$e^{\sqrt{x}} (\sqrt{x} - 1) = 0$，因$e^{\sqrt{x}} > 0$，故$\sqrt{x} - 1 = 0$，解得$x = 1$。

  2. 符号分析：

    • 当$x < 1$时，$\sqrt{x} - 1 < 0$，故$y'' < 0$，曲线凸；
    • 当$x > 1$时，$\sqrt{x} - 1 > 0$，故$y'' > 0$，曲线凹。
      因此，$x = 1$处凹凸性改变，为拐点。