题目
设 L 为曲线 y=sqrt(1-x^2) 从点 A(1,0) 到点 B(-1,0) 的一段，则曲线积分 int_(L)(x^2+y^2)dx+2xydy=（）A. (2)/(3)B. (4)/(3)C. -(2)/(3)D. -(4)/(3)
设 $L$ 为曲线 $y=\sqrt{1-x^2}$ 从点 $A(1,0)$ 到点 $B(-1,0)$ 的一段，则曲线积分 $\int_{L}(x^2+y^2)dx+2xydy=$（）
A. $\frac{2}{3}$
B. $\frac{4}{3}$
C. $-\frac{2}{3}$
D. $-\frac{4}{3}$
题目解答
答案
C. $-\frac{2}{3}$
解析
步骤 1：补曲线 $L_1$
补曲线 $L_1: y=0$（从 $-1$ 到 $1$），形成闭合曲线。闭合曲线由 $L$ 和 $L_1$ 组成，其中 $L$ 是半圆，$L_1$ 是 $x$ 轴上的线段。
步骤 2：应用格林公式
由格林公式： \[ \oint_{L+L_1} (x^2 + y^2) \, dx + 2xy \, dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA \] 其中 $P = x^2 + y^2$，$Q = 2xy$，$\frac{\partial Q}{\partial x} = 2y$，$\frac{\partial P}{\partial y} = 2y$，因此 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0$。所以： \[ \oint_{L+L_1} (x^2 + y^2) \, dx + 2xy \, dy = 0 \]
步骤 3：计算 $L_1$ 上的积分
在 $L_1$ 上，$y=0$，$dy=0$，积分变为： \[ \int_{L_1} (x^2 + y^2) \, dx + 2xy \, dy = \int_{-1}^1 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^1 = \frac{2}{3} \]
步骤 4：计算原积分
根据步骤 2 和步骤 3，原积分为： \[ \int_L (x^2 + y^2) \, dx + 2xy \, dy = -\int_{L_1} (x^2 + y^2) \, dx + 2xy \, dy = -\frac{2}{3} \]
补曲线 $L_1: y=0$（从 $-1$ 到 $1$），形成闭合曲线。闭合曲线由 $L$ 和 $L_1$ 组成，其中 $L$ 是半圆，$L_1$ 是 $x$ 轴上的线段。
步骤 2：应用格林公式
由格林公式： \[ \oint_{L+L_1} (x^2 + y^2) \, dx + 2xy \, dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA \] 其中 $P = x^2 + y^2$，$Q = 2xy$，$\frac{\partial Q}{\partial x} = 2y$，$\frac{\partial P}{\partial y} = 2y$，因此 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0$。所以： \[ \oint_{L+L_1} (x^2 + y^2) \, dx + 2xy \, dy = 0 \]
步骤 3：计算 $L_1$ 上的积分
在 $L_1$ 上，$y=0$，$dy=0$，积分变为： \[ \int_{L_1} (x^2 + y^2) \, dx + 2xy \, dy = \int_{-1}^1 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^1 = \frac{2}{3} \]
步骤 4：计算原积分
根据步骤 2 和步骤 3，原积分为： \[ \int_L (x^2 + y^2) \, dx + 2xy \, dy = -\int_{L_1} (x^2 + y^2) \, dx + 2xy \, dy = -\frac{2}{3} \]