题目
设A,B均为A,B阶矩阵则A,B且A,BA. 正确 B. 错误
设
均为
阶矩阵则
且
A. 正确
B. 错误
题目解答
答案
本题应该选择B项。
关于阶矩阵，如果说二者乘积不为0，二者未必都可逆。原因在于矩阵如果是不可逆的，它们的乘积也未必是零矩阵(通常不是)。
故本题选择B项，该说法错误。
解析
步骤 1：理解矩阵乘积不为零的含义
矩阵乘积$AB$不为零意味着$AB$中至少有一个非零元素。这并不直接意味着$A$和$B$都是可逆的，即$|A|\neq 0$且$|B|\neq 0$。
步骤 2：考虑不可逆矩阵的乘积
如果$A$和$B$都是不可逆的，即$|A|=0$或$|B|=0$，它们的乘积$AB$也未必是零矩阵。例如，考虑两个不可逆的矩阵$A$和$B$，它们的乘积$AB$可能不为零，但$A$和$B$本身是不可逆的。
步骤 3：判断命题的正确性
根据上述分析，$AB\neq 0$并不意味着$|A|\neq 0$且$|B|\neq 0$。因此，原命题是错误的。
矩阵乘积$AB$不为零意味着$AB$中至少有一个非零元素。这并不直接意味着$A$和$B$都是可逆的，即$|A|\neq 0$且$|B|\neq 0$。
步骤 2：考虑不可逆矩阵的乘积
如果$A$和$B$都是不可逆的，即$|A|=0$或$|B|=0$，它们的乘积$AB$也未必是零矩阵。例如，考虑两个不可逆的矩阵$A$和$B$，它们的乘积$AB$可能不为零，但$A$和$B$本身是不可逆的。
步骤 3：判断命题的正确性
根据上述分析，$AB\neq 0$并不意味着$|A|\neq 0$且$|B|\neq 0$。因此，原命题是错误的。