盒中有12个乒乓球,其中有9个是新的第一次比赛时从中任取3个用后仍放回盒中,第二次比赛时再从盒中任取3个,求第二次取出的球都是新球的概率又已知第次取出的球都是新球,求第一次取到的都是新球的概率.

步骤 1：定义事件
设$A_i$表示第一次取出的3个球中有$i$个新球，$i=0,1,2,3$。设$B$表示第二次取出的3个球都是新球。
步骤 2：计算$P(A_i)$
$P(A_i)$表示第一次取出的3个球中有$i$个新球的概率。由于盒中有9个新球和3个旧球，所以$P(A_i)$可以通过组合数计算得到。
$P(A_0) = \dfrac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$
$P(A_1) = \dfrac{{C}_{9}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{12}^{3}}$
$P(A_2) = \dfrac{{C}_{9}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{12}^{3}}$
$P(A_3) = \dfrac{{C}_{9}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$
步骤 3：计算$P(B|A_i)$
$P(B|A_i)$表示在第一次取出的3个球中有$i$个新球的条件下，第二次取出的3个球都是新球的概率。由于第一次取出的球用后放回，所以第二次取出的球的概率与第一次相同。
$P(B|A_0) = \dfrac{{C}_{9}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$
$P(B|A_1) = \dfrac{{C}_{8}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$
$P(B|A_2) = \dfrac{{C}_{7}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$
$P(B|A_3) = \dfrac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$
步骤 4：计算$P(B)$
$P(B)$表示第二次取出的3个球都是新球的概率。根据全概率公式，$P(B)$可以通过$P(A_i)$和$P(B|A_i)$计算得到。
$P(B) = \sum_{i=0}^{3} P(A_i)P(B|A_i)$
步骤 5：计算$P(A_3|B)$
$P(A_3|B)$表示在第二次取出的3个球都是新球的条件下，第一次取出的3个球都是新球的概率。根据贝叶斯公式，$P(A_3|B)$可以通过$P(A_3)$和$P(B|A_3)$计算得到。
$P(A_3|B) = \dfrac{P(A_3)P(B|A_3)}{P(B)}$