在有源区,静电场电位函数满足的方程是( )A. 泊松方程;B. 亥姆霍兹方程;C. 高斯方程;D. 拉普拉斯方程。

考查要点：本题主要考查静电场中电位函数满足的微分方程类型，重点区分不同方程适用的物理条件。

解题核心思路：

1. 明确电位函数的定义：静电场中电位φ与电场强度E的关系为$\mathbf{E} = -\nabla \varphi$。
2. 联想到高斯定律的微分形式：$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$。
3. 结合电位表达式推导方程：将$\mathbf{E}$代入高斯定律，可得$\nabla^2 \varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}$，即泊松方程。
4. 区分有源区与无源区：
   • 有源区（存在电荷$\rho \neq 0$）：泊松方程$\nabla^2 \varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}$。
   • 无源区（$\rho = 0$）：拉普拉斯方程$\nabla^2 \varphi = 0$。

破题关键点：

• 泊松方程是静电场在有源区的基本方程，直接关联电荷密度与电位的空间分布。

选项分析：

1. 泊松方程（A）：
   当空间存在电荷密度$\rho$时，电位函数满足$\nabla^2 \varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}$，即泊松方程。
2. 拉普拉斯方程（D）：
   若$\rho = 0$（无源区），方程退化为$\nabla^2 \varphi = 0$，但题目明确为“有源区”，故排除。
3. 高斯方程（C）：
   高斯定律是电场强度的积分或微分形式，与电位函数的直接方程无关。
4. 亥姆霍兹方程（B）：
   通常用于波动问题（如电磁波），与静电场无关。

结论：有源区静电场的电位函数满足泊松方程。