2. (5.0分) 可数集合的外测度都大于零。A. 对B. 错

本题考查可数集合外测度的相关知识。解题的关键在于理解外测度的定义，并通过构造具体的可数集合例子来判断该命题的真假。

外测度的定义：设 $E\subseteq\mathbb{R}^n$，对于任意的开区间列 $\{I_k\}_{k = 1}^{\infty}$ 使得 $E\subseteq\bigcup_{k = 1}^{\infty}I_k$，定义 $m^*(E)=\inf\left\{\sum_{k = 1}^{\infty}|I_k|:E\subseteq\bigcup_{k = 1}^{\infty}I_k\right\}$，其中 $|I_k|$ 表示开区间 $I_k$ 的体积。

下面我们通过一个具体的可数集合例子来进行分析，考虑实数集 $\mathbb{R}$ 中的可数集 $E=\{x_1,x_2,\cdots,x_n,\cdots\}$。
对于任意的 $\epsilon>0$，我们构造开区间列 $\{I_k\}$，其中 $I_k=(x_k - \frac{\epsilon}{2^{k + 1}},x_k+\frac{\epsilon}{2^{k + 1}})$。

1. 首先验证 $E\subseteq\bigcup_{k = 1}^{\infty}I_k$：
   • 对于任意的 $x_n\in E$，显然 $x_n\in I_n=(x_n - \frac{\epsilon}{2^{n + 1}},x_n+\frac{\epsilon}{2^{n + 1}})$，所以 $E\subseteq\bigcup_{k = 1}^{\infty}I_k$。
2. 然后计算 $\sum_{k = 1}^{\infty}|I_k|$：
   • 由于 $|I_k|=(x_k+\frac{\epsilon}{2^{k + 1}})-(x_k - \frac{\epsilon}{2^{k + 1}})=\frac{\epsilon}{2^{k}}$，根据等比数列求和公式 $S=\sum_{k = 1}^{\infty}a\cdot r^{k - 1}=\frac{a}{1 - r}$（其中 $a$ 为首项，$r$ 为公比，$|r|<1$），这里 $a=\frac{\epsilon}{2}$，$r=\frac{1}{2}$，则 $\sum_{k = 1}^{\infty}|I_k|=\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{\epsilon}{2^{k}}=\frac{\frac{\epsilon}{2}}{1-\frac{1}{2}}=\epsilon$。
3. 最后根据外测度的定义求 $m^*(E)$：
   • 因为 $m^*(E)=\inf\left\{\sum_{k = 1}^{\infty}|I_k|:E\subseteq\bigcup_{k = 1}^{\infty}I_k\right\}$，而对于任意的 $\epsilon>0$，都能找到这样的开区间列 $\{I_k\}$ 使得 $\sum_{k = 1}^{\infty}|I_k|=\epsilon$，所以 $m^*(E)\leq\epsilon$。
   • 又因为 $\epsilon>0$ 是任意的，所以 $m^*(E) = 0$。
   • 这就说明存在可数集合的外测度为零，并非都大于零，所以“可数集合的外测度都大于零”这个命题是错误的。