题目
3、设 (x,y)=arctan dfrac (x)(y), 则 (1,1)=-|||-(A)1; (B)0; (C) dfrac {1)(2),dfrac (1)(2)} : (D) dfrac {1)(2)
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算偏导数
首先，我们需要计算函数 $f(x,y)=\arctan \dfrac {x}{y}$ 关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数。根据链式法则，我们有：
$$
f_x(x,y) = \frac{1}{1 + \left(\frac{x}{y}\right)^2} \cdot \frac{1}{y} = \frac{y}{x^2 + y^2}
$$
$$
f_y(x,y) = \frac{1}{1 + \left(\frac{x}{y}\right)^2} \cdot \left(-\frac{x}{y^2}\right) = -\frac{x}{x^2 + y^2}
$$
步骤 2：计算梯度
梯度 $\nabla f(x,y)$ 是一个向量，其分量是函数 $f(x,y)$ 关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数。因此，我们有：
$$
\nabla f(x,y) = \left(f_x(x,y), f_y(x,y)\right) = \left(\frac{y}{x^2 + y^2}, -\frac{x}{x^2 + y^2}\right)
$$
步骤 3：计算梯度在点 (1,1) 的值
将点 (1,1) 代入梯度的表达式中，我们得到：
$$
\nabla f(1,1) = \left(\frac{1}{1^2 + 1^2}, -\frac{1}{1^2 + 1^2}\right) = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)
$$
首先，我们需要计算函数 $f(x,y)=\arctan \dfrac {x}{y}$ 关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数。根据链式法则，我们有：
$$
f_x(x,y) = \frac{1}{1 + \left(\frac{x}{y}\right)^2} \cdot \frac{1}{y} = \frac{y}{x^2 + y^2}
$$
$$
f_y(x,y) = \frac{1}{1 + \left(\frac{x}{y}\right)^2} \cdot \left(-\frac{x}{y^2}\right) = -\frac{x}{x^2 + y^2}
$$
步骤 2：计算梯度
梯度 $\nabla f(x,y)$ 是一个向量，其分量是函数 $f(x,y)$ 关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数。因此，我们有：
$$
\nabla f(x,y) = \left(f_x(x,y), f_y(x,y)\right) = \left(\frac{y}{x^2 + y^2}, -\frac{x}{x^2 + y^2}\right)
$$
步骤 3：计算梯度在点 (1,1) 的值
将点 (1,1) 代入梯度的表达式中，我们得到：
$$
\nabla f(1,1) = \left(\frac{1}{1^2 + 1^2}, -\frac{1}{1^2 + 1^2}\right) = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)
$$