三、1.设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且(0)=f(1)=0.试证在(0，1)内至少存在一点c，使(0)=f(1)=0..

首先，根据题目给出的条件，函数 f(x) 在闭区间 [0,1] 上连续，并在开区间 (0,1) 内可导。另外，已知 。

我们需要根据题目要求证明，在开区间 (0,1) 内至少存在一点 c，使得 。

可以利用介值定理（或称零点定理）来证明这个结论。根据介值定理，如果一个连续函数在一个闭区间的两个端点取不同的符号值，那么在这个闭区间内，函数必定存在一个零点。

我们可以考虑函数 ，其中 x 属于开区间 (0,1)。

观察到当 x = 0 或 x = 1 时，g(x) 的值为 0。同时，由于 ，可以知道 g(x) 在 [0,1] 上也是连续的。

根据介值定理，由于 g(x) 在闭区间 [0,1] 上连续，并且在两个端点上取不同的符号，所以在开区间 (0,1) 内，必然存在一个点 c，使得 g(c) = 0。

注意到 ，所以 g(c) = 0 可以转化为 。

因此，证明了在开区间 (0,1) 内至少存在一点 c，使得 。