题目
19.(本小题满分12分)-|||-已知函数 (x)=Asin (omega x+varphi )(Agt 0,omega gt 0,0lt varphi lt dfrac (pi )(2)) 的部分图象如图所示-|||-(1)求函数f(x)的解析式;-|||-(2)若f(x)在区间[0,m]上的值域为 [ sqrt (3),2] , 求m的取值范围.-|||-y个-|||-2-|||-7π-|||-3 x-|||--2
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定振幅A
由函数f(x)图象，可得 A=2 。
步骤 2：确定周期T
由图象可知， $\dfrac {3}{4}T=\dfrac {7\pi }{6}+\dfrac {\pi }{3}=\dfrac {3\pi }{2}$ ，因此 $T=2\pi $ 。
步骤 3：确定角频率ω
由于 $\omega \gt 0$ ，可得 $\omega =\dfrac {2\pi }{T}=1$ ，因此 $f(x)=2\sin (x+\varphi )$ 。
步骤 4：确定相位φ
由于f(x)图象过点 $(\dfrac {7\pi }{6},-2)$ ，可得 $2\sin (\dfrac {7\pi }{6}+\varphi )=-2$ ，即 $\sin (\dfrac {7\pi }{6}+\varphi )=-1$ 。因此 $\dfrac {7\pi }{6}+\varphi =\dfrac {3\pi }{2}+2k\pi $ ，解得 $\varphi =\dfrac {\pi }{3}+2k\pi $ ，其中 $k\in Z$ 。由于 $0\lt \varphi \lt \dfrac {\pi }{2}$ ，因此 $\varphi =\dfrac {\pi }{3}$ 。
步骤 5：确定函数解析式
因此函数解析式为 $f(x)=2\sin (x+\dfrac {\pi }{3})$ 。
步骤 6：确定m的取值范围
由于 $x\in [ 0,m] $ ，则 $x+\dfrac {\pi }{3}\in [ \dfrac {\pi }{3},m+\dfrac {\pi }{3}] $ 。又由于f(x)的值域为 $[ \sqrt {3},2] $ ，因此 $\dfrac {\pi }{2}\leqslant m+\dfrac {\pi }{3}\leqslant \dfrac {2\pi }{3}$ ，且 $m\gt 0$ 。因此 $\dfrac {\pi }{6}\leqslant m\leqslant \dfrac {\pi }{3}$ 。
由函数f(x)图象，可得 A=2 。
步骤 2：确定周期T
由图象可知， $\dfrac {3}{4}T=\dfrac {7\pi }{6}+\dfrac {\pi }{3}=\dfrac {3\pi }{2}$ ，因此 $T=2\pi $ 。
步骤 3：确定角频率ω
由于 $\omega \gt 0$ ，可得 $\omega =\dfrac {2\pi }{T}=1$ ，因此 $f(x)=2\sin (x+\varphi )$ 。
步骤 4：确定相位φ
由于f(x)图象过点 $(\dfrac {7\pi }{6},-2)$ ，可得 $2\sin (\dfrac {7\pi }{6}+\varphi )=-2$ ，即 $\sin (\dfrac {7\pi }{6}+\varphi )=-1$ 。因此 $\dfrac {7\pi }{6}+\varphi =\dfrac {3\pi }{2}+2k\pi $ ，解得 $\varphi =\dfrac {\pi }{3}+2k\pi $ ，其中 $k\in Z$ 。由于 $0\lt \varphi \lt \dfrac {\pi }{2}$ ，因此 $\varphi =\dfrac {\pi }{3}$ 。
步骤 5：确定函数解析式
因此函数解析式为 $f(x)=2\sin (x+\dfrac {\pi }{3})$ 。
步骤 6：确定m的取值范围
由于 $x\in [ 0,m] $ ，则 $x+\dfrac {\pi }{3}\in [ \dfrac {\pi }{3},m+\dfrac {\pi }{3}] $ 。又由于f(x)的值域为 $[ \sqrt {3},2] $ ，因此 $\dfrac {\pi }{2}\leqslant m+\dfrac {\pi }{3}\leqslant \dfrac {2\pi }{3}$ ，且 $m\gt 0$ 。因此 $\dfrac {\pi }{6}\leqslant m\leqslant \dfrac {\pi }{3}$ 。