题目

1.D(x)=|}1&x&x^2&x^3-1&1&1&-1-1&1&-1&1-1&-1&1&1项的系数是（） (A)0;(B)1;(C)-4;(D)-8. A A. B B. C C. D D.

1.D(x)=|$\begin{bmatrix}1&x&x^{2}&x^{3}\\-1&1&1&-1\\-1&1&-1&1\\-1&-1&1&1\end{bmatrix}$|的展开式中$x^{2}$项的系数是（） (A)0;(B)1;(C)-4;(D)-8. A
A. B
B. C
C. D
D.

题目解答

答案

为了找到行列式 $ D(x) = \left| \begin{bmatrix} 1 & x & x^2 & x^3 \\ -1 & 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \right| $ 的展开式中 $ x^2 $ 项的系数，我们将使用行列式的性质和余子式展开。 首先，让我们将矩阵表示为 $ A $： \[ A = \begin{bmatrix} 1 & x & x^2 & x^3 \\ -1 & 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \] 我们将沿第一行展开行列式： \[ D(x) = 1 \cdot \left| \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \right| - x \cdot \left| \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \right| + x^2 \cdot \left| \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \right| - x^3 \cdot \left| \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{bmatrix} \right| \] 现在，我们需要计算每个 3x3 行列式。 1. 计算 $ \left| \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \right| $： \[ \left| \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \right| = 1 \cdot \left| \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \right| - 1 \cdot \left| \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \right| + (-1) \cdot \left| \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \right| \] \[ = 1 \cdot (-1 \cdot 1 - 1 \cdot 1) - 1 \cdot (1 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) - 1 \cdot (1 \cdot 1 - (-1) \cdot (-1)) \] \[ = 1 \cdot (-2) - 1 \cdot (2) - 1 \cdot (0) \] \[ = -2 - 2 \] \[ = -4 \] 2. 计算 $ \left| \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \right| $： \[ \left| \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \right| = -1 \cdot \left| \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \right| - 1 \cdot \left| \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \right| + (-1) \cdot \left| \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \right| \] \[ = -1 \cdot (-2) - 1 \cdot (0) - 1 \cdot (-2) \] \[ = 2 + 2 \] \[ = 4 \] 3. 计算 $ \left| \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \right| $： \[ \left| \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \right| = -1 \cdot \left| \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \right| - 1 \cdot \left| \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \right| + (-1) \cdot \left| \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} \right| \] \[ = -1 \cdot (2) - 1 \cdot (0) - 1 \cdot (2) \] \[ = -2 - 2 \] \[ = -4 \] 4. 计算 $ \left| \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{bmatrix} \right| $： \[ \left| \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{bmatrix} \right| = -1 \cdot \left| \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \right| - 1 \cdot \left| \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} \right| + 1 \cdot \left| \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \right| \] \[ = -1 \cdot (1 - 1) - 1 \cdot (2) + 1 \cdot (-1 - 1) \] \[ = -1 \cdot (0) - 1 \cdot (2) + 1 \cdot (-2) \] \[ = -2 - 2 \] \[ = -4 \] 现在，将这些值代回行列式展开式： \[ D(x) = 1 \cdot (-4) - x \cdot 4 + x^2 \cdot (-4) - x^3 \cdot (-4) \] \[ = -4 - 4x - 4x^2 + 4x^3 \] $ x^2 $ 项的系数是 $-4$。 因此，正确答案是 $\boxed{C}$。

解析

考查要点：本题主要考查行列式的展开方法，特别是代数余子式的计算，以及多项式展开后特定项系数的提取。

解题核心思路：

  1. 按第一行展开行列式，利用代数余子式的性质，将行列式分解为多个3×3行列式的组合。
  2. 聚焦目标项：由于题目仅要求$x^2$项的系数，只需关注展开式中与$x^2$相关的代数余子式，减少计算量。
  3. 正确选取子矩阵：需注意代数余子式对应的子矩阵是去掉原矩阵的第一行和第三列后的剩余部分，避免列索引错误。

破题关键点：

  • 代数余子式的符号：第一行第三列的代数余子式符号为$+1$。
  • 子矩阵的构造：正确提取子矩阵，避免列索引混淆。
  • 3×3行列式的计算：通过展开法准确计算子行列式的值。

行列式展开：
按第一行展开行列式$D(x)$，得：
$D(x) = 1 \cdot M_{11} - x \cdot M_{12} + x^2 \cdot M_{13} - x^3 \cdot M_{14}$
其中$M_{13}$为去掉第一行和第三列后的子矩阵的行列式：
$M_{13} = \left| \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \right|$

计算$M_{13}$：
按第一行展开：
$\begin{aligned}M_{13} &= (-1) \cdot \left| \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \right| - 1 \cdot \left| \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \right| + (-1) \cdot \left| \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} \right| \\ &= (-1) \cdot (1 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) - 1 \cdot (-1 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) + (-1) \cdot (-1 \cdot (-1) - 1 \cdot (-1)) \\ &= (-1) \cdot 2 - 1 \cdot 0 + (-1) \cdot 0 \\ &= -2 \end{aligned}$

提取$x^2$项系数：
展开式中$x^2$项为$x^2 \cdot M_{13}$，因此系数为$M_{13} = -4$。