题目
1.求下列微分方程的通解:-|||-(6) ((e)^x+y-(e)^x)dx+((e)^x+y+(e)^y)dy=0; ()
题目解答
答案
解析
步骤 1：分离变量
原方程为 ${e}^{x+y}-{e}^{x})dx+({e}^{x+y}+{e}^{y})dy=0$ , 可以写成 ${e}^{x}({e}^{y}-1)dx+{e}^{y}({e}^{x}+1)dy=0$ , 分离变量有 $\dfrac {{e}^{y}}{{e}^{y}-1}dy=-\dfrac {{e}^{x}}{{e}^{x}+1}dx$ 。
步骤 2：积分
对分离变量后的方程两端积分，得到 $\int \dfrac {{e}^{y}}{{e}^{y}-1}dy = -\int \dfrac {{e}^{x}}{{e}^{x}+1}dx$ 。
步骤 3：求解
积分后得到 $\ln |{e}^{y}-1|=-\ln ({e}^{x}+1)+\ln {C}_{1}$ , 或写成 $\ln |({e}^{x}+1)({e}^{y}-1)|=\ln {C}_{1}$, 即 $({e}^{x}+1)({e}^{y}-1)=\pm {C}_{1}$, 故原方程的通解为 $({e}^{x}+1)({e}^{y}-1)=C$。
原方程为 ${e}^{x+y}-{e}^{x})dx+({e}^{x+y}+{e}^{y})dy=0$ , 可以写成 ${e}^{x}({e}^{y}-1)dx+{e}^{y}({e}^{x}+1)dy=0$ , 分离变量有 $\dfrac {{e}^{y}}{{e}^{y}-1}dy=-\dfrac {{e}^{x}}{{e}^{x}+1}dx$ 。
步骤 2：积分
对分离变量后的方程两端积分，得到 $\int \dfrac {{e}^{y}}{{e}^{y}-1}dy = -\int \dfrac {{e}^{x}}{{e}^{x}+1}dx$ 。
步骤 3：求解
积分后得到 $\ln |{e}^{y}-1|=-\ln ({e}^{x}+1)+\ln {C}_{1}$ , 或写成 $\ln |({e}^{x}+1)({e}^{y}-1)|=\ln {C}_{1}$, 即 $({e}^{x}+1)({e}^{y}-1)=\pm {C}_{1}$, 故原方程的通解为 $({e}^{x}+1)({e}^{y}-1)=C$。