设随机变量 X 和 Y 相互独立且都服从 (0, 1)上的均匀分布,则( )服从区间或区域上的均匀分布.A. (X , Y )B. X + Y C. X 2 D. X – Y.

考查要点：本题主要考查独立随机变量的联合分布以及函数变换后的分布性质。关键在于理解独立均匀分布变量的联合分布仍为均匀分布，而通过加、减、平方等运算后的变量分布会发生变化。

解题核心思路：

1. 联合分布：若两个独立随机变量均服从均匀分布，则它们的联合分布构成的区域上仍为均匀分布。
2. 函数变换：对单变量（如平方、线性变换）或双变量（如加法、减法）的运算会改变原分布的形态，通常不再保持均匀性。

破题关键点：

• 选项A的联合分布直接由独立性决定，无需运算，保持均匀性。
• 其余选项均涉及对原变量的运算，需分析其分布是否均匀。

选项A：$(X, Y)$

分析：

• $X$和$Y$独立且均服从$(0,1)$上的均匀分布，其联合概率密度函数为：
  $f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y) = 1 \cdot 1 = 1 \quad \text{（在区域 } 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1\text{ 内）}$
• 因此，$(X, Y)$在单位正方形区域上服从均匀分布。

选项B：$X + Y$

分析：

• $X + Y$的取值范围为$(0, 2)$，其概率密度函数为$X$和$Y$的卷积，计算得：
  $f_{X+Y}(z) = \begin{cases} z & 0 \leq z \leq 1, \\ 2 - z & 1 \leq z \leq 2. \end{cases}$
• 分布呈现三角形形态，非均匀分布。

选项C：$X^2$

分析：

• 通过变量变换法，$Z = X^2$的取值范围为$(0, 1)$，其概率密度函数为：
  $f_Z(z) = f_X(\sqrt{z}) \cdot \left| \frac{d}{dz} (\sqrt{z}) \right| = \frac{1}{2\sqrt{z}}.$
• 分布在$(0,1)$上非均匀，密度随$z$减小而增大。

选项D：$X - Y$

分析：

• $X - Y$的取值范围为$(-1, 1)$，其概率密度函数为$X$和$-Y$的卷积，计算得：
  $f_{X-Y}(d) = \begin{cases} 1 + d & -1 \leq d \leq 0, \\ 1 - d & 0 \leq d \leq 1. \end{cases}$
• 分布呈现对称三角形形态，非均匀分布。