[题目]-|||-13-16 波长 lambda =6000A 的单色光垂直入射到一光栅-|||-上,第二、第三级明条纹分别出现在 sin varphi =0.20 与-|||-sin varphi =0.30 处,第四级缺级.求:(1)光栅常数;-|||-(2)光栅上狭缝的宽度;(3)在 ^circ gt varphi gt -(90)^circ 范围-|||-内,实际呈现的全部级数

考查要点：本题综合考查光栅衍射中的光栅方程、缺级条件及明条纹级数的计算，需结合单缝衍射与光栅衍射的联合作用。

解题核心思路：

1. 光栅方程：$(a+b)\sin\varphi = k\lambda$，其中$a+b$为光栅常数，$k$为级数。
2. 缺级条件：当单缝衍射的极小值与光栅衍射的主极大值重合时，对应级数缺失，即$a\sin\varphi = m\lambda/2$（$m$为整数）。
3. 最大级数：由$\sin\varphi \leq 1$确定$k_{\text{max}} = \frac{(a+b)}{\lambda}$，再排除缺级的$k$值。

破题关键点：

• 通过已知的两个明条纹位置联立求解$a+b$。
• 利用第四级缺级条件联立光栅方程与单缝方程求$a$。
• 结合最大级数和缺级规律确定实际呈现的全部级数。

(1) 光栅常数$a+b$

联立方程

根据光栅方程，第二级和第三级明条纹分别对应：
$\begin{cases}0.20(a+b) = 2 \times 6000 \times 10^{-10} \\0.30(a+b) = 3 \times 6000 \times 10^{-10}\end{cases}$

求解$a+b$

两式化简后均得：
$a+b = \frac{2 \times 6000 \times 10^{-10}}{0.20} = 6.0 \times 10^{-6} \, \text{m}$

(2) 狭缝宽度$a$

缺级条件

第四级缺级说明当$k=4$时，满足单缝衍射极小条件：
$a\sin\varphi = m\lambda \quad (m \text{为整数})$

联立光栅方程

此时光栅方程为：
$(a+b)\sin\varphi = 4\lambda$

消去$\sin\varphi$

由上述两式得：
$a = \frac{m}{4}(a+b)$

确定最小$a$

取$m=1$（最小非零整数），得：
$a = \frac{1}{4} \times 6.0 \times 10^{-6} = 1.5 \times 10^{-6} \, \text{m}$

(3) 实际呈现的全部级数

最大级数

由$\sin\varphi \leq 1$得：
$k_{\text{max}} = \frac{(a+b)}{\lambda} = \frac{6.0 \times 10^{-6}}{6000 \times 10^{-10}} = 10$

排除缺级

缺级条件$a\sin\varphi = m\lambda$与光栅方程联立得：
$k = \frac{2m}{m} = 2m \quad \Rightarrow \quad k = \pm4, \pm8$

实际级数

在$-10 \leq k \leq 10$范围内，排除$k = \pm4, \pm8$，并注意$k=10$对应$\varphi = 90^\circ$不可见，最终实际呈现的级数为：
$k = 0, \pm1, \pm2, \pm3, \pm5, \pm6, \pm7, \pm9$