若X服从参数为1的指数分布，则(X+(e)^-2X)=dfrac (4)(3)。○错误○正确

考查要点：本题主要考查指数分布的期望计算以及期望的线性性质的应用。

解题核心思路：

1. 分解期望：利用期望的线性性质，将$E(X + e^{-2X})$拆分为$E(X) + E(e^{-2X})$。
2. 计算各部分期望：
   • $E(X)$：直接根据指数分布的期望公式得出。
   • $E(e^{-2X})$：通过积分计算，结合指数分布的概率密度函数。

破题关键点：

• 指数分布的密度函数：$f(x) = e^{-x}$（$x > 0$）。
• 积分技巧：将$e^{-2X}$与密度函数相乘后合并指数项，转化为标准的指数积分形式。

分解期望

根据期望的线性性质：
$E(X + e^{-2X}) = E(X) + E(e^{-2X}).$

计算$E(X)$

指数分布$X \sim E(1)$的期望为：
$E(X) = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{1} = 1.$

计算$E(e^{-2X})$

利用概率密度函数$f(x) = e^{-x}$（$x > 0$）：
$E(e^{-2X}) = \int_{0}^{+\infty} e^{-2x} \cdot e^{-x} \, dx = \int_{0}^{+\infty} e^{-3x} \, dx.$
计算积分：
$\int_{0}^{+\infty} e^{-3x} \, dx = \left[ -\frac{1}{3} e^{-3x} \right]_{0}^{+\infty} = 0 - \left( -\frac{1}{3} \right) = \frac{1}{3}.$

合并结果

$E(X + e^{-2X}) = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}.$