3.6 计算 (int )_(c)dfrac (1)({z)^2-z}dz, 其中C为圆周 |z|=2.

考查要点：本题主要考查复变函数中的围道积分计算，特别是利用留数定理求解积分的方法。

解题核心思路：

1. 分解被积函数，确定积分路径内的奇点位置；
2. 计算各奇点的留数；
3. 应用留数定理，将积分转化为留数之和的计算。

破题关键点：

• 正确分解分母：将被积函数 $\frac{1}{z^2 - z}$ 分解为 $\frac{1}{z(z-1)}$，找到奇点 $z=0$ 和 $z=1$；
• 判断奇点是否在积分路径内：圆周 $|z|=2$ 的半径为 $2$，两个奇点均在路径内部；
• 计算一阶极点的留数：分别计算 $z=0$ 和 $z=1$ 处的留数并求和。

步骤1：分解被积函数
将被积函数分解为部分分式：
$\frac{1}{z^2 - z} = \frac{1}{z(z-1)}.$
此时，被积函数的奇点为 $z=0$ 和 $z=1$，均为一阶极点。

步骤2：判断奇点位置
积分路径为圆周 $|z|=2$，半径 $2$ 大于 $|0|=0$ 和 $|1|=1$，因此两个奇点均在路径内部。

步骤3：计算留数

• 在 $z=0$ 处：
  根据一阶极点留数公式：
  $\text{Res}(f, 0) = \lim_{z \to 0} z \cdot \frac{1}{z(z-1)} = \lim_{z \to 0} \frac{1}{z-1} = -1.$
• 在 $z=1$ 处：
  同理，
  $\text{Res}(f, 1) = \lim_{z \to 1} (z-1) \cdot \frac{1}{z(z-1)} = \lim_{z \to 1} \frac{1}{z} = 1.$

步骤4：应用留数定理
积分结果为 $2\pi i$ 乘以留数之和：
$\int_C \frac{1}{z^2 - z} \, dz = 2\pi i \cdot (\text{Res}(f, 0) + \text{Res}(f, 1)) = 2\pi i \cdot (-1 + 1) = 0.$