题目
求极限lim _(xarrow 0)dfrac (x)(sqrt {1-x)-1}= ()lim _(xarrow 0)dfrac (x)(sqrt {1-x)-1}= ()
求极限
题目解答
答案
故答案选：
解析
步骤 1：有理化分母
为了消除分母中的根号，我们可以通过乘以分母的共轭来有理化分母。分母$\sqrt{1-x}-1$的共轭是$\sqrt{1-x}+1$。因此，我们乘以$\frac{\sqrt{1-x}+1}{\sqrt{1-x}+1}$。
步骤 2：简化表达式
将原式乘以共轭后，我们得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x(\sqrt {1-x}+1)}{(\sqrt {1-x}-1)(\sqrt {1-x}+1)}$。分母可以简化为$(\sqrt{1-x})^2-1^2=1-x-1=-x$。
步骤 3：计算极限
现在，我们有$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x(\sqrt {1-x}+1)}{-x}=\lim _{x\rightarrow 0}-(\sqrt {1-x}+1)$。当$x$趋近于$0$时，$\sqrt{1-x}$趋近于$1$，因此极限值为$-(1+1)=-2$。
为了消除分母中的根号，我们可以通过乘以分母的共轭来有理化分母。分母$\sqrt{1-x}-1$的共轭是$\sqrt{1-x}+1$。因此，我们乘以$\frac{\sqrt{1-x}+1}{\sqrt{1-x}+1}$。
步骤 2：简化表达式
将原式乘以共轭后，我们得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x(\sqrt {1-x}+1)}{(\sqrt {1-x}-1)(\sqrt {1-x}+1)}$。分母可以简化为$(\sqrt{1-x})^2-1^2=1-x-1=-x$。
步骤 3：计算极限
现在，我们有$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x(\sqrt {1-x}+1)}{-x}=\lim _{x\rightarrow 0}-(\sqrt {1-x}+1)$。当$x$趋近于$0$时，$\sqrt{1-x}$趋近于$1$，因此极限值为$-(1+1)=-2$。