题目
设f(x)的导数在 x=a 处连续,又 lim _(xarrow a)dfrac (f'(x))(x-a)=-1, 则 __ 。
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解给定条件
给定条件是 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f'(x)}{x-a}=-1$，这表示当x趋近于a时，f'(x)与x-a的比值趋近于-1。这意味着f'(x)在x=a附近是负的，且f'(x)在x=a处的导数是连续的。
步骤 2：分析f'(x)在x=a处的性质
由于$\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f'(x)}{x-a}=-1$，可以推断出f'(x)在x=a处的值为0，因为如果f'(x)在x=a处不为0，那么比值$\dfrac {f'(x)}{x-a}$在x趋近于a时不会趋近于一个有限值。因此，f'(a)=0。
步骤 3：确定f(x)在x=a处的极值性质
由于f'(x)在x=a处的导数是连续的，且$\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f'(x)}{x-a}=-1$，这表明f'(x)在x=a处从正变负，即f'(x)在x=a处从正数变为负数。因此，f(x)在x=a处取得极大值。
给定条件是 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f'(x)}{x-a}=-1$，这表示当x趋近于a时，f'(x)与x-a的比值趋近于-1。这意味着f'(x)在x=a附近是负的，且f'(x)在x=a处的导数是连续的。
步骤 2：分析f'(x)在x=a处的性质
由于$\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f'(x)}{x-a}=-1$，可以推断出f'(x)在x=a处的值为0，因为如果f'(x)在x=a处不为0，那么比值$\dfrac {f'(x)}{x-a}$在x趋近于a时不会趋近于一个有限值。因此，f'(a)=0。
步骤 3：确定f(x)在x=a处的极值性质
由于f'(x)在x=a处的导数是连续的，且$\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f'(x)}{x-a}=-1$，这表明f'(x)在x=a处从正变负，即f'(x)在x=a处从正数变为负数。因此，f(x)在x=a处取得极大值。