求极限lim _(xarrow +infty )x(sqrt (1+{x)^2}-x)。

考查要点：本题主要考查无穷小量与无穷大量的乘积极限的求解方法，以及有理化技巧的应用。

解题核心思路：
当遇到形如$\infty \cdot 0$的不定型极限时，通常需要通过变形将其转化为可直接计算的形式。本题的关键在于对根号部分进行有理化处理，消除根号相减带来的复杂性，从而简化表达式。

破题关键点：

1. 有理化：将$\sqrt{1+x^2} - x$乘以共轭$\sqrt{1+x^2} + x$，利用平方差公式化简分子。
2. 化简表达式：通过分子分母同除以$x$，将极限转化为关于$\frac{1}{x}$的表达式，便于计算$x \to +\infty$时的极限。

步骤1：有理化处理
原式为：
$\lim _{x\rightarrow +\infty }x(\sqrt {1+{x}^{2}}-x)$
将$\sqrt{1+x^2} - x$乘以共轭$\sqrt{1+x^2} + x$，分子分母同时乘：
$\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow +\infty }x \cdot \frac{(\sqrt{1+x^2} - x)(\sqrt{1+x^2} + x)}{\sqrt{1+x^2} + x} &= \lim _{x\rightarrow +\infty }x \cdot \frac{1}{\sqrt{1+x^2} + x} \end{aligned}$

步骤2：化简分母
将分子和分母同时除以$x$：
$\lim _{x\rightarrow +\infty } \frac{x}{\sqrt{1+x^2} + x} = \lim _{x\rightarrow +\infty } \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} + 1}$

步骤3：计算极限
当$x \to +\infty$时，$\frac{1}{x^2} \to 0$，因此：
$\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} \to \sqrt{1+0} = 1$
代入得：
$\frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$