讨论方程(x)^2-1=cos x的根的个数.

考查要点：本题主要考查利用函数图像交点判断方程根的个数，涉及二次函数与余弦函数的性质分析。

解题核心思路：将方程转化为两个函数$y=3x^2-1$与$y=\cos x$的交点问题，通过分析两者的图像形状、单调性及关键点，确定交点数量。

破题关键点：

1. 二次函数与余弦函数的增长性差异：二次函数$3x^2-1$开口向上，随$|x|$增大迅速上升；而$\cos x$在$[-1,1]$间周期振荡。
2. 关键点分析：比较$x=0$、$x=\pm 1$等处的函数值，判断两侧函数的相对位置。
3. 导数分析单调性：通过求导确定$3x^2-1-\cos x$的单调性，验证交点唯一性。

步骤1：构造函数分析交点

将方程$3x^2-1=\cos x$转化为函数$f(x)=3x^2-1$与$g(x)=\cos x$的交点问题。

步骤2：分析函数图像特征

• 二次函数$f(x)=3x^2-1$：开口向上，顶点在$(0,-1)$，随$|x|$增大迅速上升。
• 余弦函数$g(x)=\cos x$：周期为$2\pi$，最大值$1$，最小值$-1$。

步骤3：关键点比较

• 当$x=0$时：$f(0)=-1$，$g(0)=1$，此时$f(x)
• 当$x=1$时：$f(1)=2$，$g(1)\approx0.54$，此时$f(x)>g(x)$。
• 当$x=-1$时：$f(-1)=2$，$g(-1)=g(1)\approx0.54$，此时$f(x)>g(x)$。

步骤4：单调性分析

• 定义$h(x)=3x^2-1-\cos x$，求导得$h'(x)=6x+\sin x$。
• 当$x>0$时：$6x>0$且$\sin x \geq -1$，故$h'(x)>0$，$h(x)$单调递增。
• 当$x<0$时：$6x<0$且$\sin x \leq 1$，故$h'(x)<0$，$h(x)$单调递减。

步骤5：零点存在性

• 在$x>0$区间：$h(0)=-2<0$，当$x\to+\infty$时$h(x)\to+\infty$，由单调性知存在唯一零点。
• 在$x<0$区间：$h(0)=-2<0$，当$x\to-\infty$时$h(x)\to+\infty$，由单调性知存在唯一零点。

结论：方程共有2个实根。