题目
设 L 为抛物线 y^2 = x 从点 A(1, -1) 到点 B(1, 1) 的一段弧, 则 int_(L) xydx = ().A. (1)/(2)B. (1)/(5)C. (2)/(5)D. (4)/(5)
设 $L$ 为抛物线 $y^2 = x$ 从点 $A(1, -1)$ 到点 $B(1, 1)$ 的一段弧, 则 $\int_{L} xydx = ()$.
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{5}$
C. $\frac{2}{5}$
D. $\frac{4}{5}$
题目解答
答案
D. $\frac{4}{5}$
解析
步骤 1：参数化曲线
抛物线 $y^2 = x$ 可以写成 $x = y^2$。当 $y$ 从 $-1$ 变到 $1$ 时，$x$ 从 $1$ 变到 $1$，覆盖了从 $A$ 到 $B$ 的曲线段。
步骤 2：计算积分
积分 $\int_{L} xy \, dx$ 可以重写为 $y$ 的函数：\[ \int_{-1}^{1} (y^2) y \, \frac{dx}{dy} \, dy. \] 由于 $x = y^2$，我们有 $\frac{dx}{dy} = 2y$。将此代入积分，我们得到：\[ \int_{-1}^{1} y^3 \cdot 2y \, dy = \int_{-1}^{1} 2y^4 \, dy. \]
步骤 3：计算定积分
现在，我们可以计算这个积分：\[ 2 \int_{-1}^{1} y^4 \, dy = 2 \left[ \frac{y^5}{5} \right]_{-1}^{1} = 2 \left( \frac{1^5}{5} - \frac{(-1)^5}{5} \right) = 2 \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \right) = 2 \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{5}. \]
抛物线 $y^2 = x$ 可以写成 $x = y^2$。当 $y$ 从 $-1$ 变到 $1$ 时，$x$ 从 $1$ 变到 $1$，覆盖了从 $A$ 到 $B$ 的曲线段。
步骤 2：计算积分
积分 $\int_{L} xy \, dx$ 可以重写为 $y$ 的函数：\[ \int_{-1}^{1} (y^2) y \, \frac{dx}{dy} \, dy. \] 由于 $x = y^2$，我们有 $\frac{dx}{dy} = 2y$。将此代入积分，我们得到：\[ \int_{-1}^{1} y^3 \cdot 2y \, dy = \int_{-1}^{1} 2y^4 \, dy. \]
步骤 3：计算定积分
现在，我们可以计算这个积分：\[ 2 \int_{-1}^{1} y^4 \, dy = 2 \left[ \frac{y^5}{5} \right]_{-1}^{1} = 2 \left( \frac{1^5}{5} - \frac{(-1)^5}{5} \right) = 2 \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \right) = 2 \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{5}. \]