一、选择题(共6道小题,每小题3分,满分18分)-|||-2.设函数 f(x)= { ,xgt 0 0,xleqslant 0 . 在点 x=0 处有连续的导数,则α满足不等式-|||-() .-|||-(A) gt 0 (B) gt 1 (C) gt 2 (D) geqslant 2

本题考查分段函数在分段点处连续的导数的相关知识。解题的关键在于先求出函数在$x = 0$处的导数，再根据导数连续的条件来确定$\alpha$的取值范围。

1. 求$x = 0$处的导数$f^\prime(0)$：
   根据导数的定义，函数在某点的导数$f^\prime(0)=\lim\limits_{x \to 0}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$。
   已知$f(0)=0$，当$x\gt0$时，$f(x)=x^{\alpha}\sin\frac{1}{x}$，则$f^\prime(0)=\lim\limits_{x \to 0^+}\frac{x^{\alpha}\sin\frac{1}{x}-0}{x}=\lim\limits_{x \to 0^+}x^{\alpha - 1}\sin\frac{1}{x}$。
   因为$\sin\frac{1}{x}$是有界函数，即$\vert\sin\frac{1}{x}\vert\leqslant1$，要使$\lim\limits_{x \to 0^+}x^{\alpha - 1}\sin\frac{1}{x}$存在，根据有界函数与无穷小的乘积为无穷小，需$\lim\limits_{x \to 0^+}x^{\alpha - 1}=0$，则$\alpha - 1\gt0$，即$\alpha\gt1$。
   当$\alpha\gt1$时，$f^\prime(0)=0$。
2. 求$x\gt0$时$f(x)$的导数$f^\prime(x)$：
   对$f(x)=x^{\alpha}\sin\frac{1}{x}$（$x\gt0$）求导，根据求导公式$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，其中$u = x^{\alpha}$，$v = \sin\frac{1}{x}$。
   $u^\prime=\alpha x^{\alpha - 1}$，$v^\prime=\cos\frac{1}{x}\cdot(-\frac{1}{x^2})$，则$f^\prime(x)=\alpha x^{\alpha - 1}\sin\frac{1}{x}-x^{\alpha - 2}\cos\frac{1}{x}$（$x\gt0$）。
3. 根据导数连续的条件确定$\alpha$的取值范围：
   因为函数$f(x)$在点$x = 0$处有连续的导数，所以$\lim\limits_{x \to 0^+}f^\prime(x)=f^\prime(0)=0$。
   $\lim\limits_{x \to 0^+}f^\prime(x)=\lim\limits_{x \to 0^+}(\alpha x^{\alpha - 1}\sin\frac{1}{x}-x^{\alpha - 2}\cos\frac{1}{x})$。
   同样，$\sin\frac{1}{x}$和$\cos\frac{1}{x}$都是有界函数，要使$\lim\limits_{x \to 0^+}(\alpha x^{\alpha - 1}\sin\frac{1}{x}-x^{\alpha - 2}\cos\frac{1}{x}) = 0$，需$\lim\limits_{x \to 0^+}x^{\alpha - 1}=0$且$\lim\limits_{x \to 0^+}x^{\alpha - 2}=0$。
   由$\lim\limits_{x \to 0^+}x^{\alpha - 1}=0$得$\alpha - 1\gt0$，由$\lim\limits_{x \to 0^+}x^{\alpha - 2}=0$得$\alpha - 2\gt0$，即$\alpha\gt2$。