题目
1.[单选题]对于函数项级数sum_(n=0)^infty(1)/(1+x^n)，x=2是否为收敛点? （）A. 是B. 否
1.[单选题]
对于函数项级数$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{1+x^n}$，x=2是否为收敛点? （）
A. 是
B. 否
题目解答
答案
A. 是
解析
步骤 1：分析级数的一般项
考虑函数项级数$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{1+x^n}$在$x=2$时的情况，即分析级数$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{1+2^n}$的收敛性。级数的一般项为$\frac{1}{1+2^n}$。
步骤 2：比较测试
对于大的$n$，项$2^n$将远大于1，因此$\frac{1}{1+2^n}$大约等于$\frac{1}{2^n}$。这表明级数$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{1+2^n}$可能与几何级数$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n}$有相似的收敛性。几何级数$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n}$是一个公比为$\frac{1}{2}$的几何级数，由于公比的绝对值小于1，该级数收敛。具体来说，该级数的和为：\[ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2. \]
步骤 3：应用比较测试
为了严格证明级数$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{1+2^n}$收敛，我们可以使用比较测试。由于对于所有$n \geq 0$，有$\frac{1}{1+2^n} < \frac{1}{2^n}$，并且级数$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n}$收敛，根据比较测试，级数$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{1+2^n}$也收敛。
考虑函数项级数$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{1+x^n}$在$x=2$时的情况，即分析级数$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{1+2^n}$的收敛性。级数的一般项为$\frac{1}{1+2^n}$。
步骤 2：比较测试
对于大的$n$，项$2^n$将远大于1，因此$\frac{1}{1+2^n}$大约等于$\frac{1}{2^n}$。这表明级数$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{1+2^n}$可能与几何级数$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n}$有相似的收敛性。几何级数$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n}$是一个公比为$\frac{1}{2}$的几何级数，由于公比的绝对值小于1，该级数收敛。具体来说，该级数的和为：\[ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2. \]
步骤 3：应用比较测试
为了严格证明级数$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{1+2^n}$收敛，我们可以使用比较测试。由于对于所有$n \geq 0$，有$\frac{1}{1+2^n} < \frac{1}{2^n}$，并且级数$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n}$收敛，根据比较测试，级数$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{1+2^n}$也收敛。