微分方程 y' = (1)/((x+y)^2) 满足条件 y(1) = 0 的解为 ________

我们要求解的微分方程是： $$ y' = \frac{1}{(x + y)^2} $$ 并满足初始条件： $$ y(1) = 0 $$ --- ### 第一步：变量代换 观察方程右边的形式 $\frac{1}{(x + y)^2}$，我们尝试做一个变量代换： 设： $$ u = x + y $$ 那么： $$ y = u - x $$ 对 $x$ 求导： $$ y' = \frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} - 1 $$ 将 $y'$ 代入原微分方程： $$ \frac{du}{dx} - 1 = \frac{1}{u^2} $$ 移项得： $$ \frac{du}{dx} = \frac{1}{u^2} + 1 $$ --- ### 第二步：分离变量 我们把方程写成： $$ \frac{du}{dx} = \frac{1 + u^2}{u^2} $$ 分离变量： $$ \frac{u^2}{1 + u^2} \, du = dx $$ --- ### 第三步：积分 左边积分： $$ \int \frac{u^2}{1 + u^2} \, du $$ 我们把分子拆分一下： $$ \frac{u^2}{1 + u^2} = 1 - \frac{1}{1 + u^2} $$ 所以积分变为： $$ \int \left(1 - \frac{1}{1 + u^2}\right) du = \int dx $$ 计算积分： $$ u - \tan^{-1}(u) = x + C $$ --- ### 第四步：代回原变量 因为 $u = x + y$，代入得： $$ x + y - \tan^{-1}(x + y) = x + C $$ 两边同时减去 $x$： $$ y - \tan^{-1}(x + y) = C $$ --- ### 第五步：代入初始条件求常数 已知 $y(1) = 0$，代入： $$ 0 - \tan^{-1}(1 + 0) = C \Rightarrow C = -\tan^{-1}(1) = -\frac{\pi}{4} $$ --- ### 第六步：写出最终解 代入常数 $C = -\frac{\pi}{4}$，得： $$ y - \tan^{-1}(x + y) = -\frac{\pi}{4} $$ 整理得： $$ y = \tan^{-1}(x + y) - \frac{\pi}{4} $$ 这是隐式解。我们无法显式地解出 $y$，但题目问的是“满足条件的解”，所以我们可以将这个隐式表达式作为答案。 --- ### ✅ 最终答案： $$ \boxed{y = \tan^{-1}(x + y) - \frac{\pi}{4}} $$ 这是微分方程 $y' = \frac{1}{(x + y)^2}$ 满足 $y(1) = 0$ 的解。