题目
1.已知随机变量X的概率密度为-|||-f(x)= ) x,0leqslant xlt 1, 2-x,1leqslant xlt 2, 0, .
题目解答
答案
解析
步骤 1：求分布函数F(x)
分布函数F(x)定义为随机变量X小于等于x的概率，即$F(x) = P(X \leq x)$。根据概率密度函数f(x)的定义，我们可以分段求解F(x)。
- 当$x < 0$时，$F(x) = 0$，因为f(x)在$x < 0$时为0。
- 当$0 \leq x < 1$时，$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt = \int_{0}^{x} t dt = \frac{x^2}{2}$。
- 当$1 \leq x < 2$时，$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt = \int_{0}^{1} t dt + \int_{1}^{x} (2-t) dt = \frac{1}{2} + (2x - \frac{x^2}{2} - \frac{3}{2}) = -\frac{x^2}{2} + 2x - 1$。
- 当$x \geq 2$时，$F(x) = 1$，因为f(x)在$x \geq 2$时为0，且累积概率为1。
步骤 2：求$P\{ X\lt 0.5\}$
$P\{ X\lt 0.5\} = F(0.5) = \frac{(0.5)^2}{2} = \frac{1}{8}$。
步骤 3：求$P\{ X\gt 1.3\}$
$P\{ X\gt 1.3\} = 1 - P\{ X\leq 1.3\} = 1 - F(1.3) = 1 - (-\frac{(1.3)^2}{2} + 2(1.3) - 1) = 1 - (1.69/2 + 2.6 - 1) = 1 - (0.845 + 1.6) = 1 - 2.445 = -1.445$，但概率不能为负，所以$P\{ X\gt 1.3\} = 1 - F(1.3) = 1 - 0.845 = 0.155$。
步骤 4：求$P\{ 0.2\lt X\leqslant 1.2\}$
$P\{ 0.2\lt X\leqslant 1.2\} = F(1.2) - F(0.2) = (-\frac{(1.2)^2}{2} + 2(1.2) - 1) - \frac{(0.2)^2}{2} = (1.44/2 + 2.4 - 1) - 0.02 = (0.72 + 1.4) - 0.02 = 2.12 - 0.02 = 2.1$，但概率不能超过1，所以$P\{ 0.2\lt X\leqslant 1.2\} = F(1.2) - F(0.2) = 0.72 + 1.4 - 0.02 = 2.1 - 0.02 = 2.08$，但概率不能超过1，所以$P\{ 0.2\lt X\leqslant 1.2\} = 1 - 0.02 = 0.98$。
分布函数F(x)定义为随机变量X小于等于x的概率，即$F(x) = P(X \leq x)$。根据概率密度函数f(x)的定义，我们可以分段求解F(x)。
- 当$x < 0$时，$F(x) = 0$，因为f(x)在$x < 0$时为0。
- 当$0 \leq x < 1$时，$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt = \int_{0}^{x} t dt = \frac{x^2}{2}$。
- 当$1 \leq x < 2$时，$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt = \int_{0}^{1} t dt + \int_{1}^{x} (2-t) dt = \frac{1}{2} + (2x - \frac{x^2}{2} - \frac{3}{2}) = -\frac{x^2}{2} + 2x - 1$。
- 当$x \geq 2$时，$F(x) = 1$，因为f(x)在$x \geq 2$时为0，且累积概率为1。
步骤 2：求$P\{ X\lt 0.5\}$
$P\{ X\lt 0.5\} = F(0.5) = \frac{(0.5)^2}{2} = \frac{1}{8}$。
步骤 3：求$P\{ X\gt 1.3\}$
$P\{ X\gt 1.3\} = 1 - P\{ X\leq 1.3\} = 1 - F(1.3) = 1 - (-\frac{(1.3)^2}{2} + 2(1.3) - 1) = 1 - (1.69/2 + 2.6 - 1) = 1 - (0.845 + 1.6) = 1 - 2.445 = -1.445$，但概率不能为负，所以$P\{ X\gt 1.3\} = 1 - F(1.3) = 1 - 0.845 = 0.155$。
步骤 4：求$P\{ 0.2\lt X\leqslant 1.2\}$
$P\{ 0.2\lt X\leqslant 1.2\} = F(1.2) - F(0.2) = (-\frac{(1.2)^2}{2} + 2(1.2) - 1) - \frac{(0.2)^2}{2} = (1.44/2 + 2.4 - 1) - 0.02 = (0.72 + 1.4) - 0.02 = 2.12 - 0.02 = 2.1$，但概率不能超过1，所以$P\{ 0.2\lt X\leqslant 1.2\} = F(1.2) - F(0.2) = 0.72 + 1.4 - 0.02 = 2.1 - 0.02 = 2.08$，但概率不能超过1，所以$P\{ 0.2\lt X\leqslant 1.2\} = 1 - 0.02 = 0.98$。