题目

(6)lim_((x,y)to(0,0))(1-cos(x^2+y^2))/((x^2)+y^(2)e^x^{2y^2)}

(6)$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{1-\cos(x^{2}+y^{2})}{(x^{2}+y^{2})e^{x^{2}y^{2}}}$

题目解答

答案

当 $(x, y) \to (0, 0)$ 时，利用余弦函数的泰勒展开式，有 $$ 1 - \cos(x^2 + y^2) \sim \frac{(x^2 + y^2)^2}{2}. $$ 同时， $$ e^{x^2 y^2} \to 1. $$ 代入原式得 $$ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\frac{(x^2 + y^2)^2}{2}}{(x^2 + y^2) \cdot 1} = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 + y^2}{2} = 0. $$ 或使用极坐标变换 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$，则 $$ \lim_{r \to 0} \frac{1 - \cos(r^2)}{r^2 e^{r^4 \cos^2\theta \sin^2\theta}} \sim \lim_{r \to 0} \frac{\frac{r^4}{2}}{r^2} = 0. $$ **答案：** $\boxed{0}$

解析

考查要点：本题主要考查二重极限的计算，涉及泰勒展开和极坐标变换的应用，以及对函数在原点附近行为的分析。

解题核心思路：

  1. 分子部分利用余弦函数的泰勒展开式，将$1 - \cos(x^2 + y^2)$近似为$\frac{(x^2 + y^2)^2}{2}$；
  2. 分母部分中，当$(x, y) \to (0, 0)$时，$e^{x^2 y^2} \to 1$，因此分母简化为$x^2 + y^2$；
  3. 通过约分后，极限转化为$\frac{x^2 + y^2}{2}$，显然当$(x, y) \to (0, 0)$时，该表达式趋于$0$。
  4. 极坐标法进一步验证了无论路径如何，极限值均为$0$。

破题关键点：

  • 泰勒展开简化分子和分母的表达式；
  • 极坐标变换统一变量，排除路径依赖性。

步骤1：泰勒展开近似
当$(x, y) \to (0, 0)$时，$x^2 + y^2 \to 0$，利用余弦函数的泰勒展开式：
$1 - \cos(x^2 + y^2) = \frac{(x^2 + y^2)^2}{2} - \frac{(x^2 + y^2)^4}{24} + \cdots \sim \frac{(x^2 + y^2)^2}{2}.$

步骤2：简化分母
由于$e^{x^2 y^2} \to 1$（当$x^2 y^2 \to 0$时），分母可近似为：
$(x^2 + y^2) e^{x^2 y^2} \sim (x^2 + y^2) \cdot 1 = x^2 + y^2.$

步骤3：代入原式并约分
原式化简为：
$\frac{\frac{(x^2 + y^2)^2}{2}}{x^2 + y^2} = \frac{x^2 + y^2}{2}.$

步骤4：求极限
当$(x, y) \to (0, 0)$时，$x^2 + y^2 \to 0$，因此：
$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 + y^2}{2} = 0.$

极坐标验证
令$x = r \cos\theta$，$y = r \sin\theta$，则$x^2 + y^2 = r^2$，$x^2 y^2 = r^4 \cos^2\theta \sin^2\theta$。代入原式得：
$\lim_{r \to 0} \frac{1 - \cos(r^2)}{r^2 e^{r^4 \cos^2\theta \sin^2\theta}} \sim \lim_{r \to 0} \frac{\frac{r^4}{2}}{r^2} = \lim_{r \to 0} \frac{r^2}{2} = 0.$