题目
用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题是具有唯一最优解无穷多最优解、无界解还是无可行解？(1),max,z=(x)_(1)+3(x)_(2)5{x)_(1)+10(x)_(2)leqslant 50 (x)_(1)+(x)_(2)geqslant 1 (x)_(2)leqslant 4 (x)_(1),(x)_(2)geqslant 0.
用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题是具有唯一最优解无穷多最优解、无界解还是无可行解？
$\left(1\right)\,max\,z={x}_{1}+3{x}_{2}$
$\left\{\begin{array}{l}5{x}_{1}+10{x}_{2}\leqslant 50\\ {x}_{1}+{x}_{2}\geqslant 1\\ {x}_{2}\leqslant 4\\ {x}_{1},{x}_{2}\geqslant 0\end{array}\right.$
$\left(2\right)\,min\,z={x}_{1}+1.5{x}_{2}$
$\left\{\begin{array}{l}{x}_{1}+3{x}_{2}\geqslant 3\\ {x}_{1}+{x}_{2}\geqslant 2\\ {x}_{1},{x}_{2}\geqslant 0\end{array}\right.$
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定约束条件的边界
对于问题(1)，约束条件为：
- $5x_1 + 10x_2 \leq 50$
- $x_1 + x_2 \geq 1$
- $x_2 \leq 4$
- $x_1, x_2 \geq 0$
步骤 2：绘制约束条件的边界
- $5x_1 + 10x_2 = 50$ 可以简化为 $x_1 + 2x_2 = 10$，这是一条直线。
- $x_1 + x_2 = 1$ 是一条直线。
- $x_2 = 4$ 是一条水平线。
- $x_1 = 0$ 和 $x_2 = 0$ 是坐标轴。
步骤 3：确定可行域
- 可行域是所有约束条件的交集，即满足所有不等式的区域。
- 通过绘制这些直线并确定不等式的方向，可以找到可行域。
步骤 4：确定目标函数的等值线
- 目标函数为 $z = x_1 + 3x_2$，等值线为 $x_1 + 3x_2 = c$，其中 $c$ 是常数。
- 通过移动等值线，找到与可行域相切的点，该点即为最优解。
步骤 5：求解最优解
- 通过观察图形，可以发现最优解在可行域的顶点处。
- 顶点的坐标可以通过解方程组得到，例如 $x_1 + 2x_2 = 10$ 和 $x_2 = 4$ 的交点。
步骤 6：验证最优解
- 将最优解代入目标函数，计算目标函数的值。
- 检查是否满足所有约束条件。
步骤 7：重复步骤1-6，解决第二个问题
- 对于问题(2)，约束条件为：
- $x_1 + 3x_2 \geq 3$
- $x_1 + x_2 \geq 2$
- $x_1, x_2 \geq 0$
- 重复上述步骤，绘制约束条件的边界，确定可行域，确定目标函数的等值线，求解最优解，验证最优解。
对于问题(1)，约束条件为：
- $5x_1 + 10x_2 \leq 50$
- $x_1 + x_2 \geq 1$
- $x_2 \leq 4$
- $x_1, x_2 \geq 0$
步骤 2：绘制约束条件的边界
- $5x_1 + 10x_2 = 50$ 可以简化为 $x_1 + 2x_2 = 10$，这是一条直线。
- $x_1 + x_2 = 1$ 是一条直线。
- $x_2 = 4$ 是一条水平线。
- $x_1 = 0$ 和 $x_2 = 0$ 是坐标轴。
步骤 3：确定可行域
- 可行域是所有约束条件的交集，即满足所有不等式的区域。
- 通过绘制这些直线并确定不等式的方向，可以找到可行域。
步骤 4：确定目标函数的等值线
- 目标函数为 $z = x_1 + 3x_2$，等值线为 $x_1 + 3x_2 = c$，其中 $c$ 是常数。
- 通过移动等值线，找到与可行域相切的点，该点即为最优解。
步骤 5：求解最优解
- 通过观察图形，可以发现最优解在可行域的顶点处。
- 顶点的坐标可以通过解方程组得到，例如 $x_1 + 2x_2 = 10$ 和 $x_2 = 4$ 的交点。
步骤 6：验证最优解
- 将最优解代入目标函数，计算目标函数的值。
- 检查是否满足所有约束条件。
步骤 7：重复步骤1-6，解决第二个问题
- 对于问题(2)，约束条件为：
- $x_1 + 3x_2 \geq 3$
- $x_1 + x_2 \geq 2$
- $x_1, x_2 \geq 0$
- 重复上述步骤，绘制约束条件的边界，确定可行域，确定目标函数的等值线，求解最优解，验证最优解。