3.设随机变量(X Y)的联合概率密度为-|||-f(x,y)= ) x+y, 0lt xlt 1, 0lt ylt 1 0. .-|||-求 Z=X+Y 的概率密度.

步骤 1：确定 Z 的取值范围
由于 X 和 Y 的取值范围都是 (0, 1)，所以 Z = X + Y 的取值范围是 (0, 2)。

步骤 2：计算 Z 的累积分布函数
Z 的累积分布函数 F_Z(z) = P(Z ≤ z) = P(X + Y ≤ z)。根据联合概率密度函数 f(x, y)，我们可以通过二重积分计算 F_Z(z)。
当 0 < z < 1 时，F_Z(z) = ∫∫_{x + y ≤ z} f(x, y) dxdy = ∫_{0}^{z} ∫_{0}^{z-x} (x + y) dydx。
当 1 ≤ z < 2 时，F_Z(z) = ∫∫_{x + y ≤ z} f(x, y) dxdy = ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{z-x} (x + y) dydx + ∫_{z-1}^{1} ∫_{0}^{1} (x + y) dydx。

步骤 3：计算 Z 的概率密度函数
Z 的概率密度函数 f_Z(z) = dF_Z(z)/dz。根据步骤 2 中的 F_Z(z)，我们可以通过求导计算 f_Z(z)。
当 0 < z < 1 时，f_Z(z) = dF_Z(z)/dz = z^2。
当 1 ≤ z < 2 时，f_Z(z) = dF_Z(z)/dz = 2z - 1。