8.证明n阶矩阵A是奇异矩阵的充分必要条件是A有一个特征值为零.

本题考察奇异矩阵与特征值的关系，核心是通过矩阵行列式是否为零以及特征值的定义来建立等价条件。

必要性证明（若$A$是奇异矩阵，则$A$有一个特征值为零）

奇异矩阵的定义是行列式$|A|=0$。根据特征值的定义，$\lambda$是$A$的特征值当且仅当$|\lambda E - A|=0$。
当$\lambda=0$时，行列式$|0 \cdot E - A|=|-A|=(-1)^n|A|$。由于$|A|=0$，则$|-A|=0$，即$|0E - A|=0$，故$0$是$A$的特征值。

充分性证明（若$A$有一个特征值为零，则$A$是奇异矩阵）

若$0$是$A$的特征值，则存在非零向量$x$（特征向量）满足$Ax=0x$，即$Ax=0$。
这说明齐次线性方程组$Ax=0$有非零解，根据线性代数理论，齐次方程组$Ax=0$有非零解的充要条件是$|A|=0$，因此$A$是奇异矩阵。