题目
[题目]计算定积分: (int )_(-dfrac {pi )(2)}^dfrac (pi {2)}dfrac (1)(2)xcos xdx.
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义函数
设 $f(x)=\dfrac {1}{2}x\cos x$。
步骤 2：验证奇函数
$f(-x)=\dfrac {1}{2}\times (-x)\cos (-x)=-\dfrac {1}{2}x\cos x=-f(x)$，因此 $f(x)$ 是奇函数。
步骤 3：利用奇函数的性质
由于 $f(x)$ 是奇函数，且积分区间关于原点对称，所以 ${\int }_{-\dfrac {\pi }{2}}^{\dfrac {\pi }{2}}\dfrac {1}{2}x\cos xdx=0$。
设 $f(x)=\dfrac {1}{2}x\cos x$。
步骤 2：验证奇函数
$f(-x)=\dfrac {1}{2}\times (-x)\cos (-x)=-\dfrac {1}{2}x\cos x=-f(x)$，因此 $f(x)$ 是奇函数。
步骤 3：利用奇函数的性质
由于 $f(x)$ 是奇函数，且积分区间关于原点对称，所以 ${\int }_{-\dfrac {\pi }{2}}^{\dfrac {\pi }{2}}\dfrac {1}{2}x\cos xdx=0$。