题目

将函数(x)=dfrac (1)(x+1)展开成(x-1)的幂级数2.计算(x)=dfrac (1)(x+1),其中(x)=dfrac (1)(x+1)是锥面(x)=dfrac (1)(x+1)被平面z=3所截的部分

将函数 $f\left(x\right)=\frac{1}{x+1}$ 展开成(x-1)的幂级数

2.计算 $\iint\limits_{Σ}^{}(x^{2}+y^{2})dS$ ,其中 $Σ$ 是锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 被平面z=3所截的部分

题目解答

答案

解：

1. $f\left(x\right)=\frac{1}{x+1}=\frac{1}{2+\left(x-1\right)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+\frac{x-1}{2}}$

$=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^2}{2\left(n+1\right)}\left(\frac{x-1}{2}\right)^{n+1}$

$=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^2}{\left(n+1\right)2^{n+2}}\left(x-1\right)^{n+1}$

求收敛域， $-1<\frac{x-1}{2}<1$ 解得 $-1<x<3$

∴展开的幂级数为 $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^2}{\left(n+1\right)2^{n+2}}\left(x-1\right)^{n+1}\left(-1<x<3\right)$

2.设D为 $Σ$ 在xOy面上的投影， $D:\left\{\left(x,y\right)|x^2+y^2\le9,z=0\right\}$ $\iint\limits_{Σ}^{}(x^{2}+y^{2})dS=\iint\limits_{D}^{}(x^{2}+y^{2})\sqrt{1+(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}})^{2}+(\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}})^{2}}dxdy$

$=\sqrt{2}\iint\limits_{D}^{}(x^{2}+y^{2})dxdy$

转化成极坐标计算二重积分

$D:\left \{ ^{0\le\theta\le2\pi}_{0\le\rho\le3} \right.$ 原式 $=\sqrt{2}\iint\limits_{D}^{}\rho^{2}\bullet \rho d\rho d\theta$

$=\sqrt{2}\int_0^{2\pi}d\theta\left[\frac{1}{4}\rho^4\right]_0^3=\frac{81\sqrt{2}}{2}\pi$

解析

步骤 1：将函数$f(x)=\dfrac {1}{x+1}$展开成(x-1)的幂级数
首先，我们注意到函数$f(x)=\dfrac {1}{x+1}$可以写成$f(x)=\dfrac {1}{2+(x-1)}$的形式。接下来，我们利用几何级数的展开式$\dfrac {1}{1-t}=\sum _{n=0}^{\infty }{t}^{n}$，其中$|t|<1$，来展开$f(x)$。
步骤 2：利用几何级数展开式
将$f(x)=\dfrac {1}{2+(x-1)}$写成$\dfrac {1}{2}\cdot \dfrac {1}{1+\dfrac {x-1}{2}}$的形式，然后利用几何级数展开式$\dfrac {1}{1-t}=\sum _{n=0}^{\infty }{t}^{n}$，其中$|t|<1$，来展开$f(x)$。
步骤 3：计算收敛域
为了确定幂级数的收敛域，我们需要求解不等式$-1\lt \dfrac {x-1}{2}\lt 1$，从而得到$x$的取值范围。
步骤 4：计算二重积分$\iint ({x}^{2}+{y}^{2})dS$
首先，确定积分区域D在xOy面上的投影，然后利用极坐标变换计算二重积分。