题目
例2 测量学问题为测量两地间的距离，采取分段测量相加的方法。现将两地间距离分成100段，设每段的测量误差服从[-2,2]（单位：cm）上的均匀分布。问测量值产生误差总和的绝对值超过20cm的概率是多少？
例2 测量学问题
为测量两地间的距离，采取分段测量相加的方法。
现将两地间距离分成100段，设每段的测量误差服从[-2,2]（单位：cm）上的均匀分布。
问测量值产生误差总和的绝对值超过20cm的概率是多少？
题目解答
答案
为了解决这个问题，我们需要确定100段距离测量的误差总和的绝对值超过20 cm的概率。每段的测量误差服从$[-2, 2]$上的均匀分布。我们用$X_i$表示第$i$段的测量误差。由于$X_i$服从$[-2, 2]$上的均匀分布，其期望值$E(X_i)$和方差$Var(X_i)$分别为：
\[E(X_i) = 0\]
\[Var(X_i) = \frac{(2 - (-2))^2}{12} = \frac{4^2}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}\]
设$S$为100段测量的误差总和。那么，
\[S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{100}\]
$S$的期望值和方差为：
\[E(S) = E(X_1 + X_2 + \cdots + X_{100}) = E(X_1) + E(X_2) + \cdots + E(X_{100}) = 0\]
\[Var(S) = Var(X_1 + X_2 + \cdots + X_{100}) = Var(X_1) + Var(X_2) + \cdots + Var(X_{100}) = 100 \cdot \frac{4}{3} = \frac{400}{3}\]
我们感兴趣的是测量值产生误差总和的绝对值超过20 cm的概率，即$P(|S| > 20)$。根据中心极限定理，由于$S$是大量独立同分布随机变量的和，$S$近似服从均值为0，方差为$\frac{400}{3}$的正态分布。因此，$S$标准化后服从标准正态分布：
\[Z = \frac{S - E(S)}{\sqrt{Var(S)}} = \frac{S}{\sqrt{\frac{400}{3}}} = \frac{S}{\frac{20}{\sqrt{3}}} = \frac{S \sqrt{3}}{20}\]
我们需要找到$P(|S| > 20)$：
\[P(|S| > 20) = P(S > 20) + P(S < -20) = 2P(S > 20)\]
将$S$转换为$Z$：
\[P(S > 20) = P\left(Z > \frac{20 \sqrt{3}}{20}\right) = P(Z > \sqrt{3})\]
使用标准正态分布表或计算器，我们找到$P(Z > \sqrt{3})$。因为$\sqrt{3} \approx 1.732$，
\[P(Z > 1.732) \approx 0.0418\]
因此，
\[P(|S| > 20) = 2P(Z > \sqrt{3}) \approx 2 \cdot 0.0418 = 0.0836\]
所以，测量值产生误差总和的绝对值超过20 cm的概率是：
\[\boxed{0.0836}\]
解析
步骤 1：确定每段测量误差的期望值和方差
每段的测量误差服从$[-2, 2]$上的均匀分布。其期望值$E(X_i)$和方差$Var(X_i)$分别为：
\[E(X_i) = 0\]
\[Var(X_i) = \frac{(2 - (-2))^2}{12} = \frac{4^2}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}\]
步骤 2：计算总误差的期望值和方差
设$S$为100段测量的误差总和。那么，
\[S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{100}\]
$S$的期望值和方差为：
\[E(S) = E(X_1 + X_2 + \cdots + X_{100}) = E(X_1) + E(X_2) + \cdots + E(X_{100}) = 0\]
\[Var(S) = Var(X_1 + X_2 + \cdots + X_{100}) = Var(X_1) + Var(X_2) + \cdots + Var(X_{100}) = 100 \cdot \frac{4}{3} = \frac{400}{3}\]
步骤 3：计算误差总和的绝对值超过20cm的概率
根据中心极限定理，$S$近似服从均值为0，方差为$\frac{400}{3}$的正态分布。因此，$S$标准化后服从标准正态分布：
\[Z = \frac{S - E(S)}{\sqrt{Var(S)}} = \frac{S}{\sqrt{\frac{400}{3}}} = \frac{S}{\frac{20}{\sqrt{3}}} = \frac{S \sqrt{3}}{20}\]
我们需要找到$P(|S| > 20)$：
\[P(|S| > 20) = P(S > 20) + P(S < -20) = 2P(S > 20)\]
将$S$转换为$Z$：
\[P(S > 20) = P\left(Z > \frac{20 \sqrt{3}}{20}\right) = P(Z > \sqrt{3})\]
使用标准正态分布表或计算器，我们找到$P(Z > \sqrt{3})$。因为$\sqrt{3} \approx 1.732$，
\[P(Z > 1.732) \approx 0.0418\]
因此，
\[P(|S| > 20) = 2P(Z > \sqrt{3}) \approx 2 \cdot 0.0418 = 0.0836\]
每段的测量误差服从$[-2, 2]$上的均匀分布。其期望值$E(X_i)$和方差$Var(X_i)$分别为：
\[E(X_i) = 0\]
\[Var(X_i) = \frac{(2 - (-2))^2}{12} = \frac{4^2}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}\]
步骤 2：计算总误差的期望值和方差
设$S$为100段测量的误差总和。那么，
\[S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{100}\]
$S$的期望值和方差为：
\[E(S) = E(X_1 + X_2 + \cdots + X_{100}) = E(X_1) + E(X_2) + \cdots + E(X_{100}) = 0\]
\[Var(S) = Var(X_1 + X_2 + \cdots + X_{100}) = Var(X_1) + Var(X_2) + \cdots + Var(X_{100}) = 100 \cdot \frac{4}{3} = \frac{400}{3}\]
步骤 3：计算误差总和的绝对值超过20cm的概率
根据中心极限定理，$S$近似服从均值为0，方差为$\frac{400}{3}$的正态分布。因此，$S$标准化后服从标准正态分布：
\[Z = \frac{S - E(S)}{\sqrt{Var(S)}} = \frac{S}{\sqrt{\frac{400}{3}}} = \frac{S}{\frac{20}{\sqrt{3}}} = \frac{S \sqrt{3}}{20}\]
我们需要找到$P(|S| > 20)$：
\[P(|S| > 20) = P(S > 20) + P(S < -20) = 2P(S > 20)\]
将$S$转换为$Z$：
\[P(S > 20) = P\left(Z > \frac{20 \sqrt{3}}{20}\right) = P(Z > \sqrt{3})\]
使用标准正态分布表或计算器，我们找到$P(Z > \sqrt{3})$。因为$\sqrt{3} \approx 1.732$，
\[P(Z > 1.732) \approx 0.0418\]
因此，
\[P(|S| > 20) = 2P(Z > \sqrt{3}) \approx 2 \cdot 0.0418 = 0.0836\]