设一个袋子中有6个白球和3个黑球。现从这个袋子中任取4个球，分别以X，Y表示取到的白球个数和黑球个数。求( X，Y) 的联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律。

考查要点：本题主要考查超几何分布的应用，以及联合分布律和边缘分布律的求解方法。

解题核心思路：

1. 确定变量关系：由于总取球数固定为4，故白球数$X$与黑球数$Y$满足$X + Y = 4$。
2. 列举可能取值：根据袋中白球（6个）和黑球（3个）的数量，确定$(X, Y)$的可能组合。
3. 计算联合概率：利用组合数公式，计算每种组合的概率。
4. 求边缘分布：对联合分布律按行（关于$X$）或列（关于$Y$）求和。

破题关键点：

• 约束条件：$X$和$Y$必须满足$X + Y = 4$，且$X \leq 6$，$Y \leq 3$。
• 组合数公式：概率计算需用$P(X=x, Y=y) = \dfrac{C(6, x) \cdot C(3, y)}{C(9, 4)}$。

步骤1：确定$(X, Y)$的可能取值

根据$X + Y = 4$，且$X \leq 6$，$Y \leq 3$，可得：

• $(X, Y)$的可能取值为$(1, 3)$、$(2, 2)$、$(3, 1)$、$(4, 0)$。

步骤2：计算联合分布律

总取法数为$C(9, 4) = 126$。对每个可能取值：

1. $(1, 3)$：
   $P(X=1, Y=3) = \dfrac{C(6,1) \cdot C(3,3)}{C(9,4)} = \dfrac{6 \cdot 1}{126} = \dfrac{1}{21}.$
2. $(2, 2)$：
   $P(X=2, Y=2) = \dfrac{C(6,2) \cdot C(3,2)}{C(9,4)} = \dfrac{15 \cdot 3}{126} = \dfrac{5}{14}.$
3. $(3, 1)$：
   $P(X=3, Y=1) = \dfrac{C(6,3) \cdot C(3,1)}{C(9,4)} = \dfrac{20 \cdot 3}{126} = \dfrac{10}{21}.$
4. $(4, 0)$：
   $P(X=4, Y=0) = \dfrac{C(6,4) \cdot C(3,0)}{C(9,4)} = \dfrac{15 \cdot 1}{126} = \dfrac{5}{42}.$

步骤3：求边缘分布律

• 关于$X$：对每个$X$值对应的概率求和：

  • $P(X=1) = \dfrac{1}{21}$，
  • $P(X=2) = \dfrac{5}{14}$，
  • $P(X=3) = \dfrac{10}{21}$，
  • $P(X=4) = \dfrac{5}{42}$。

• 关于$Y$：对每个$Y$值对应的概率求和：

  • $P(Y=0) = \dfrac{5}{42}$，
  • $P(Y=1) = \dfrac{10}{21}$，
  • $P(Y=2) = \dfrac{5}{14}$，
  • $P(Y=3) = \dfrac{1}{21}$。