题目
计算(int )_(0)^+infty dfrac (dx)({x)^2+4x+3}的值是A (int )_(0)^+infty dfrac (dx)({x)^2+4x+3}B (int )_(0)^+infty dfrac (dx)({x)^2+4x+3}C (int )_(0)^+infty dfrac (dx)({x)^2+4x+3}D (int )_(0)^+infty dfrac (dx)({x)^2+4x+3}
计算
的值是
A 
B 
C 
D 
题目解答
答案
故选A。
解析
步骤 1：分解分母
分母${x}^{2}+4x+3$可以分解为$(x+1)(x+3)$，因此原式可以写为${\int }_{0}^{+\infty }\dfrac {dx}{(x+1)(x+3)}$。
步骤 2：部分分式分解
将$\dfrac {1}{(x+1)(x+3)}$分解为$\dfrac {A}{x+1}+\dfrac {B}{x+3}$，其中$A$和$B$是待定系数。通过解方程组$A(x+3)+B(x+1)=1$，可以得到$A=\dfrac {1}{2}$，$B=-\dfrac {1}{2}$。
步骤 3：积分
将原式写为${\int }_{0}^{+\infty }(\dfrac {1}{2(x+1)}-\dfrac {1}{2(x+3)})dx$，然后分别对每一项进行积分，得到$\dfrac {1}{2}(\ln (x+1)-\ln (x+3))$。
步骤 4：计算定积分
将积分结果代入上下限，得到$\dfrac {1}{2}(\ln (x+1)-\ln (x+3))$ +∞
$=\dfrac {1}{2}(\ln (+\infty+1)-\ln (+\infty+3))-\dfrac {1}{2}(\ln (0+1)-\ln (0+3))$
$=\dfrac {1}{2}(\ln 3)$
分母${x}^{2}+4x+3$可以分解为$(x+1)(x+3)$，因此原式可以写为${\int }_{0}^{+\infty }\dfrac {dx}{(x+1)(x+3)}$。
步骤 2：部分分式分解
将$\dfrac {1}{(x+1)(x+3)}$分解为$\dfrac {A}{x+1}+\dfrac {B}{x+3}$，其中$A$和$B$是待定系数。通过解方程组$A(x+3)+B(x+1)=1$，可以得到$A=\dfrac {1}{2}$，$B=-\dfrac {1}{2}$。
步骤 3：积分
将原式写为${\int }_{0}^{+\infty }(\dfrac {1}{2(x+1)}-\dfrac {1}{2(x+3)})dx$，然后分别对每一项进行积分，得到$\dfrac {1}{2}(\ln (x+1)-\ln (x+3))$。
步骤 4：计算定积分
将积分结果代入上下限，得到$\dfrac {1}{2}(\ln (x+1)-\ln (x+3))$ +∞
$=\dfrac {1}{2}(\ln (+\infty+1)-\ln (+\infty+3))-\dfrac {1}{2}(\ln (0+1)-\ln (0+3))$
$=\dfrac {1}{2}(\ln 3)$