题目

(5)lim_(xto(pi)/(2))(1+cos x)^2sec x

(5)$\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}(1+\cos x)^{2\sec x}$

题目解答

答案

设 $y = \cos x$，则当 $x \to \frac{\pi}{2}$ 时，$y \to 0$。原极限变为：

$\lim_{y \to 0} (1 + y)^{\frac{2}{y}}$

利用指数和对数性质，有：

$(1 + y)^{\frac{2}{y}} = e^{\frac{2}{y} \ln (1 + y)}$

由泰勒展开 $\ln (1 + y) \approx y$（当 $y \to 0$ 时），得：

$\frac{2}{y} \ln (1 + y) \approx 2$

或使用洛必达法则求极限：

$\lim_{y \to 0} \frac{2 \ln (1 + y)}{y} = \lim_{y \to 0} \frac{2}{1 + y} = 2$

因此：

$\lim_{y \to 0} e^{\frac{2}{y} \ln (1 + y)} = e^2$

或者利用已知极限 $\lim_{y \to 0} (1 + y)^{\frac{1}{y}} = e$，得：

$(1 + y)^{\frac{2}{y}} = \left[ (1 + y)^{\frac{1}{y}} \right]^2 \to e^2$

答案： $\boxed{e^2}$

解析

考查要点：本题主要考查变量替换法和重要极限公式的应用，以及对指数函数与对数函数性质的理解。

解题核心思路：
当遇到形如$(1 + f(x))^{g(x)}$的极限，且$f(x) \to 0$、$g(x) \to \infty$时，通常通过变量替换将问题转化为已知的重要极限形式$\lim_{y \to 0}(1 + y)^{1/y} = e$，或利用泰勒展开、洛必达法则求解指数部分的极限。

破题关键点：

  1. 变量替换：令$y = \cos x$，将原式转化为关于$y$的表达式。
  2. 指数与对数转换：将原式写成$e^{\frac{2}{y} \ln(1 + y)}$，简化极限计算。
  3. 泰勒展开或洛必达法则：处理$\frac{\ln(1 + y)}{y}$的极限，得出指数部分的值。

步骤1：变量替换
设$y = \cos x$，当$x \to \frac{\pi}{2}$时，$y \to 0$。此时$\sec x = \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{y}$，原式变为：
$\lim_{y \to 0} (1 + y)^{\frac{2}{y}}$

步骤2：指数与对数转换
将表达式改写为指数函数形式：
$(1 + y)^{\frac{2}{y}} = e^{\frac{2}{y} \ln(1 + y)}$

步骤3：计算指数部分的极限
需要求$\lim_{y \to 0} \frac{2}{y} \ln(1 + y)$。

  • 方法一（泰勒展开）：
    当$y \to 0$时，$\ln(1 + y) \approx y - \frac{y^2}{2} + \cdots$，因此：
    $\frac{2}{y} \ln(1 + y) \approx \frac{2}{y} \cdot y = 2$

  • 方法二（洛必达法则）：
    极限$\lim_{y \to 0} \frac{2 \ln(1 + y)}{y}$属于$\frac{0}{0}$型，应用洛必达法则：
    $\lim_{y \to 0} \frac{2 \cdot \frac{1}{1 + y}}{1} = \frac{2}{1} = 2$

步骤4：代入指数函数
指数部分的极限为$2$，因此原式为：
$e^{\lim_{y \to 0} \frac{2}{y} \ln(1 + y)} = e^2$