题目
(3)(x^2+2xy-y^2)dx+(y^2+2xy-x^2)dy=0,y|_(x=1)=1;
(3)$(x^{2}+2xy-y^{2})dx+(y^{2}+2xy-x^{2})dy=0,y|_{x=1}=1;$
题目解答
答案
将方程改写为：
\[
\frac{dy}{dx} = -\frac{x^2 + 2xy - y^2}{y^2 + 2xy - x^2}
\]
令 $y = ux$，则 $\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}$，代入得：
\[
u + x\frac{du}{dx} = -\frac{1 + 2u - u^2}{u^2 + 2u - 1}
\]
分离变量并积分：
\[
\int \frac{u^2 + 2u - 1}{(u + 1)(u^2 + 1)} du = -\int \frac{dx}{x}
\]
部分分式分解后积分得：
\[
\ln \left| \frac{u^2 + 1}{u + 1} \right| = -\ln|x| + C_1
\]
化简得：
\[
\frac{x(u^2 + 1)}{u + 1} = C
\]
代回 $u = \frac{y}{x}$ 并利用初始条件 $y|_{x=1} = 1$，解得 $C = 1$。
**答案：**
\[
\boxed{x^2 + y^2 = x + y}
\]
解析
考查要点：本题主要考查齐次微分方程的解法，涉及变量替换、分离变量积分以及部分分式分解等技巧。
解题核心思路：
- 识别方程类型：观察方程形式，判断为齐次方程，可通过变量替换$y = ux$化简。
- 变量替换：将方程转化为关于$u$和$x$的可分离变量方程。
- 分离变量积分：通过部分分式分解简化积分过程，求出通解。
- 应用初始条件：确定积分常数，得到特解。
破题关键点：
- 正确进行变量替换，将原方程转化为关于$u$的方程。
- 分子因式分解，简化分离变量后的积分表达式。
- 部分分式分解，将复杂分式拆分为易积分的形式。
变量替换与方程化简
令$y = ux$，则$\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}$。代入原方程：
$u + x\frac{du}{dx} = -\frac{1 + 2u - u^2}{u^2 + 2u - 1}$
整理得：
$x\frac{du}{dx} = -\frac{(u + 1)(u^2 + 1)}{u^2 + 2u - 1}$
分离变量与积分
分离变量并积分：
$\int \frac{u^2 + 2u - 1}{(u + 1)(u^2 + 1)} du = -\int \frac{dx}{x}$
部分分式分解：
$\frac{u^2 + 2u - 1}{(u + 1)(u^2 + 1)} = \frac{-1}{u + 1} + \frac{2u}{u^2 + 1}$
积分结果为：
$\ln\left|\frac{u^2 + 1}{u + 1}\right| = -\ln|x| + C$
化简与代回变量
指数化后代入$u = \frac{y}{x}$，化简得：
$\frac{x(y^2 + x^2)}{y + x} = C$
利用初始条件$y|_{x=1} = 1$，解得$C = 1$，最终方程为：
$x^2 + y^2 = x + y$