(9) lim _(xarrow 0)(dfrac (sin x)(x))

考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是处理形如$1^\infty$型不定式极限的常用技巧，以及泰勒展开或等价无穷小替换的应用。

解题核心思路：

1. 指数化处理：将原式转化为以$e$为底的指数形式，利用$\lim_{x \to 0} a^{f(x)} = e^{\lim_{x \to 0} f(x) \ln a}$的性质。
2. 对数化简：通过取自然对数，将乘积或幂次转化为加减运算，简化极限计算。
3. 泰勒展开或等价无穷小替换：对$\sin x$展开或利用$\sin x \sim x - \frac{x^3}{6}$，进一步化简表达式，求出极限值。

破题关键点：

• 识别极限类型：原式为$1^\infty$型不定式，需通过指数化处理转化为标准形式。
• 正确展开$\sin x$：利用泰勒展开或等价无穷小，将$\frac{\sin x}{x}$展开到足够高阶，确保计算精度。

原式：
$\lim _{x\rightarrow 0}\left(\dfrac {\sin x}{x}\right)^{\dfrac {1}{{x}^{2}}}$

步骤1：指数化处理
将原式写成以$e$为底的形式：
$\left(\dfrac {\sin x}{x}\right)^{\dfrac {1}{{x}^{2}}} = e^{\dfrac{1}{x^2} \ln \left( \dfrac{\sin x}{x} \right)}$

步骤2：计算指数部分的极限
令$L = \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2} \ln \left( \dfrac{\sin x}{x} \right)$，则原式极限为$e^L$。
展开$\sin x$的泰勒多项式：
$\sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + o(x^3)$
因此：
$\dfrac{\sin x}{x} = 1 - \dfrac{x^2}{6} + o(x^2)$
取自然对数：
$\ln \left(1 - \dfrac{x^2}{6} + o(x^2)\right) \approx -\dfrac{x^2}{6} - \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{x^2}{6} \right)^2 + o(x^2)$
忽略高阶无穷小后，主要项为：
$\ln \left( \dfrac{\sin x}{x} \right) \approx -\dfrac{x^2}{6}$
代入$L$的表达式：
$L = \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2} \left( -\dfrac{x^2}{6} \right) = -\dfrac{1}{6}$

步骤3：求最终结果
原式极限为：
$e^L = e^{-\dfrac{1}{6}}$