题目
已知'(0)=1，求'(0)=1
已知
，求
题目解答
答案
因为当
时，
，又由题可知
所以，原式
故答案为
解析
步骤 1：应用洛必达法则
由于题目要求求解$\lim _{h\rightarrow 0}f(\sin h)-f(0)$，我们首先需要将这个表达式转换成一个可以应用洛必达法则的形式。注意到当$h$趋近于$0$时，$\sin h$也趋近于$0$，因此我们可以将原式写成$\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {f(\sin h)-f(0)}{\sin h}\cdot \sin h$的形式，这样就将问题转换成了求解一个$\frac{0}{0}$型的极限问题。
步骤 2：应用已知条件
根据题目条件$f'(0)=1$，我们知道当$h$趋近于$0$时，$\dfrac {f(\sin h)-f(0)}{\sin h}$的极限值等于$f'(0)$，即等于$1$。因此，原式可以进一步简化为$\lim _{h\rightarrow 0}1\cdot \sin h$。
步骤 3：计算极限
由于$\sin h$在$h$趋近于$0$时的极限值为$0$，因此原式$\lim _{h\rightarrow 0}1\cdot \sin h$的值为$0$。但是，这里有一个小的修正，因为原题要求的是$\lim _{n\rightarrow \infty }$f(sinh)-f(0)，而我们实际上求解的是$\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {f(\sin h)-f(0)}{h}$，所以最终答案应该是$1$，而不是$0$。
由于题目要求求解$\lim _{h\rightarrow 0}f(\sin h)-f(0)$，我们首先需要将这个表达式转换成一个可以应用洛必达法则的形式。注意到当$h$趋近于$0$时，$\sin h$也趋近于$0$，因此我们可以将原式写成$\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {f(\sin h)-f(0)}{\sin h}\cdot \sin h$的形式，这样就将问题转换成了求解一个$\frac{0}{0}$型的极限问题。
步骤 2：应用已知条件
根据题目条件$f'(0)=1$，我们知道当$h$趋近于$0$时，$\dfrac {f(\sin h)-f(0)}{\sin h}$的极限值等于$f'(0)$，即等于$1$。因此，原式可以进一步简化为$\lim _{h\rightarrow 0}1\cdot \sin h$。
步骤 3：计算极限
由于$\sin h$在$h$趋近于$0$时的极限值为$0$，因此原式$\lim _{h\rightarrow 0}1\cdot \sin h$的值为$0$。但是，这里有一个小的修正，因为原题要求的是$\lim _{n\rightarrow \infty }$f(sinh)-f(0)，而我们实际上求解的是$\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {f(\sin h)-f(0)}{h}$，所以最终答案应该是$1$，而不是$0$。