题目
20. 设随机变量X服从[-1,2]上的均匀分布，且Y=}1,x>00,x=0-1,xA. 对B. 错
20. 设随机变量X服从[-1,2]上的均匀分布，且Y=$\begin{cases}1,x>0\\0,x=0\\-1,x<0\end{cases}$,则E(Y)=$\int_{0}^{2}1\times\frac{1}{3}dx+\int_{-1}^{0}(-1)\times\frac{1}{3}dx=\frac{1}{3}$.
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
步骤 1：确定随机变量X的概率密度函数
随机变量X在区间[-1, 2]上服从均匀分布，因此其概率密度函数为：\[ f(x) = \frac{1}{2 - (-1)} = \frac{1}{3} \]
步骤 2：计算Y的期望值
根据Y的定义，我们有：\[ Y = \begin{cases} 1 & \text{如果 } X > 0 \\ 0 & \text{如果 } X = 0 \\ -1 & \text{如果 } X < 0 \end{cases} \]
由于X是连续随机变量，$ P(X = 0) = 0 $，因此Y的期望值可以简化为：\[ E(Y) = 1 \cdot P(X > 0) + (-1) \cdot P(X < 0) \]
步骤 3：计算P(X > 0)和P(X < 0)
$ P(X > 0) $ 是从0到2的概率密度函数的积分：\[ P(X > 0) = \int_{0}^{2} \frac{1}{3} \, dx = \left[ \frac{x}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{2}{3} \]
$ P(X < 0) $ 是从-1到0的概率密度函数的积分：\[ P(X < 0) = \int_{-1}^{0} \frac{1}{3} \, dx = \left[ \frac{x}{3} \right]_{-1}^{0} = \frac{0}{3} - \left( \frac{-1}{3} \right) = \frac{1}{3} \]
步骤 4：计算E(Y)
将步骤3中的概率代入步骤2中的期望值表达式中，我们得到：\[ E(Y) = 1 \cdot \frac{2}{3} + (-1) \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \]
随机变量X在区间[-1, 2]上服从均匀分布，因此其概率密度函数为：\[ f(x) = \frac{1}{2 - (-1)} = \frac{1}{3} \]
步骤 2：计算Y的期望值
根据Y的定义，我们有：\[ Y = \begin{cases} 1 & \text{如果 } X > 0 \\ 0 & \text{如果 } X = 0 \\ -1 & \text{如果 } X < 0 \end{cases} \]
由于X是连续随机变量，$ P(X = 0) = 0 $，因此Y的期望值可以简化为：\[ E(Y) = 1 \cdot P(X > 0) + (-1) \cdot P(X < 0) \]
步骤 3：计算P(X > 0)和P(X < 0)
$ P(X > 0) $ 是从0到2的概率密度函数的积分：\[ P(X > 0) = \int_{0}^{2} \frac{1}{3} \, dx = \left[ \frac{x}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{2}{3} \]
$ P(X < 0) $ 是从-1到0的概率密度函数的积分：\[ P(X < 0) = \int_{-1}^{0} \frac{1}{3} \, dx = \left[ \frac{x}{3} \right]_{-1}^{0} = \frac{0}{3} - \left( \frac{-1}{3} \right) = \frac{1}{3} \]
步骤 4：计算E(Y)
将步骤3中的概率代入步骤2中的期望值表达式中，我们得到：\[ E(Y) = 1 \cdot \frac{2}{3} + (-1) \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \]