题目
已知随机变量X的概率密度函数为(x)= ) 2x,0lt xlt 1 0,eleqslant ee .,令 Y = -2X,求Y的概率密度函数.
已知随机变量X的概率密度函数为
,令 Y = -2X,求Y的概率密度函数.
题目解答
答案
Y = -2X，可先求出Y的分布函数
，对分布函数求导即可得出概率密度。
y<-2时，
-2<y<0时，
y>0时，
对分布函数求导即可得出概率密度:
解析
步骤 1：确定Y的分布函数
根据Y = -2X，我们首先需要确定Y的分布函数${F}_{Y}(y)$。由于Y = -2X，我们可以将Y的分布函数表示为$P(Y \leq y)$，即$P(-2X \leq y)$。这可以进一步转化为$P(X \geq \frac{y}{-2})$，因为X的概率密度函数只在0到1之间有值，所以需要考虑y的取值范围。
步骤 2：计算分布函数
- 当$y \leq -2$时，$P(X \geq \frac{y}{-2}) = 1$，因为$\frac{y}{-2} \geq 1$，所以$F_Y(y) = 0$。
- 当$-2 < y < 0$时，$P(X \geq \frac{y}{-2}) = 1 - P(X \leq \frac{y}{-2})$。由于$X$的概率密度函数为$f(x) = 2x$，$0 < x < 1$，所以$P(X \leq \frac{y}{-2}) = \int_{0}^{\frac{y}{-2}} 2x dx = \frac{y^2}{4}$。因此，$F_Y(y) = 1 - \frac{y^2}{4}$。
- 当$y \geq 0$时，$P(X \geq \frac{y}{-2}) = 0$，因为$\frac{y}{-2} \leq 0$，所以$F_Y(y) = 1$。
步骤 3：求导得到概率密度函数
根据分布函数$F_Y(y)$，对$y$求导得到$Y$的概率密度函数$f_Y(y)$。对于$-2 < y < 0$，$f_Y(y) = \frac{d}{dy} (1 - \frac{y^2}{4}) = -\frac{y}{2}$。对于其他情况，$f_Y(y) = 0$。
根据Y = -2X，我们首先需要确定Y的分布函数${F}_{Y}(y)$。由于Y = -2X，我们可以将Y的分布函数表示为$P(Y \leq y)$，即$P(-2X \leq y)$。这可以进一步转化为$P(X \geq \frac{y}{-2})$，因为X的概率密度函数只在0到1之间有值，所以需要考虑y的取值范围。
步骤 2：计算分布函数
- 当$y \leq -2$时，$P(X \geq \frac{y}{-2}) = 1$，因为$\frac{y}{-2} \geq 1$，所以$F_Y(y) = 0$。
- 当$-2 < y < 0$时，$P(X \geq \frac{y}{-2}) = 1 - P(X \leq \frac{y}{-2})$。由于$X$的概率密度函数为$f(x) = 2x$，$0 < x < 1$，所以$P(X \leq \frac{y}{-2}) = \int_{0}^{\frac{y}{-2}} 2x dx = \frac{y^2}{4}$。因此，$F_Y(y) = 1 - \frac{y^2}{4}$。
- 当$y \geq 0$时，$P(X \geq \frac{y}{-2}) = 0$，因为$\frac{y}{-2} \leq 0$，所以$F_Y(y) = 1$。
步骤 3：求导得到概率密度函数
根据分布函数$F_Y(y)$，对$y$求导得到$Y$的概率密度函数$f_Y(y)$。对于$-2 < y < 0$，$f_Y(y) = \frac{d}{dy} (1 - \frac{y^2}{4}) = -\frac{y}{2}$。对于其他情况，$f_Y(y) = 0$。