(10分) 图示一平面简谐波在t = 0 时刻的波形图,求)-|||-↑ u=0.08 m/s-|||-P (m)-|||-0 0.20 0.40 0.60-|||--0.04 (1) 该波的波动表达式;(2) P处质点的振动方程.

考查要点：本题主要考查平面简谐波的波动方程及质点振动方程的建立，涉及波长、周期、相位的确定，以及波的传播方向判断。

解题核心思路：

1. 确定波的基本参数：通过波形图确定波长$\lambda$，利用波速$u$计算周期$T$，并求出角频率$\omega$和波数$k$。
2. 确定初相位$\varphi$：根据$t=0$时原点$O$处的位移和速度方向，结合波动方程的初始条件求解。
3. 建立波动方程：将参数代入波动方程的标准形式$y = A\cos(kx - \omega t + \varphi)$。
4. 求质点振动方程：将特定点$P$的坐标代入波动方程，化简得到其振动方程。

破题关键点：

• 波形图分析：从波形图确定波长$\lambda = 0.40 \, \text{m}$，振幅$A = 0.04 \, \text{m}$。
• 相位确定：通过原点处$t=0$的位移和速度方向，确定初相位$\varphi = -\frac{\pi}{2}$。

第（1）题：波动表达式

确定波长和周期

• 波形图显示相邻两个平衡点间距为$0.40 \, \text{m}$，故波长$\lambda = 0.40 \, \text{m}$。
• 周期$T = \frac{\lambda}{u} = \frac{0.40}{0.08} = 5 \, \text{s}$。

确定振幅和初相位

• 振幅$A = 0.04 \, \text{m}$（波形最大位移）。
• $t=0$时，原点$O$处位移$y_0 = 0$，速度$v_0 > 0$，代入波动方程的初始条件：
  $\begin{cases} y_0 = A\cos\varphi = 0 \implies \cos\varphi = 0 \implies \varphi = \pm \frac{\pi}{2}, \\ v_0 = -A\omega\sin\varphi > 0 \implies \sin\varphi < 0 \implies \varphi = -\frac{\pi}{2}. \end{cases}$

构造波动方程

• 波动方程标准形式为$y = A\cos(kx - \omega t + \varphi)$，其中：
  $k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{0.40}, \quad \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{5}.$
• 代入参数得：
  $y = 0.04\cos\left(2\pi\left(\frac{t}{5} - \frac{x}{0.40}\right) - \frac{\pi}{2}\right).$

第（2）题：P处质点的振动方程

代入P点坐标

• P点坐标$x = 0.20 \, \text{m}$，代入波动方程：
  $y_P = 0.04\cos\left(2\pi\left(\frac{t}{5} - \frac{0.20}{0.40}\right) - \frac{\pi}{2}\right).$

化简相位

• 计算空间项$\frac{0.20}{0.40} = 0.5$，整理得：
  $y_P = 0.04\cos\left(0.4\pi t - \frac{3\pi}{2}\right).$