[题目]求下列曲线所围成的图形的面积.-|||-=dfrac (1)(2)(x)^2 与 ^2+(y)^2=8 (两部分都要计算).

本题主要考察利用定积分求曲线围成图形的面积，以及圆的扇形面积、三角形面积等几何知识的综合应用，具体步骤如下：

步骤1：求曲线交点

联立方程 $y = \frac{1}{2}x^2$ 与 $x^2 + y^2 = 8$：
将 $x^2 = 2y$ 代入圆方程得 $2y + y^2 = 8$，即 $y^2 + 2y - 8 = 0$，解得 $y = 2$（$y = -4$ 舍去），代入 $y = \frac{1}{2}x^2$ 得 $x = \pm 2$，故交点为 $A(-2,2)$ 和 $B(2,2)$。

步骤2：计算上半部分面积 $S$

上半部分区域由圆弧 $ACB$ 和抛物线弧 $ADB$ 围成，需拆分为两部分积分：

（1）弓形面积 $S_1$（圆弧 $ACB$ 与线段 $AB$ 围成）

• 圆 $x^2 + y^2 = 8$ 的半径 $r = 2\sqrt{2}$，扇形 $OACB$ 的圆心角 $\theta = \frac{\pi}{2}$（因 $OA \perp OB$），故扇形面积为 $\frac{1}{4}\pi r^2 = 2\pi$。
• $\triangle OAB$ 的面积为 $\frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4$，故 $S_1 = 2\pi - 4$。

（2）抛物线与线段 $AB$ 围成的面积 $S_2$**

线段 $AB$ 方程为 $y = 2$，积分区间 $[-2,2]$：
$S_2 = \int_{-2}^2 \left(2 - \frac{1}{2}x^2\right)dx = \left[2x - \frac{1}{6}x^3\right]_{-2}^2 = \left(4 - \frac{8}{6}\right) - \left(-4 + \frac{8}{6}\right) = \frac{16}{3}$

上半部分总面积

$S = S_1 + S_2 = (2\pi - 4) + \frac{16}{3} = 2\pi + \frac{4}{3}$

步骤3：计算下半部分面积 $S'$

圆的总面积为 $\pi r^2 = 8\pi$，故下半部分面积为：
$S' = 8\pi - S = 8\pi - \left(2\pi + \frac{4}{3}\right) = 6\pi - \frac{4}{3}$