题目
7.设随机变量 sim U(1,4), 现在对X进行三次独立试验,求至少有两次观-|||-察值大于2的概率.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算事件 $\{ x\gt 2\} $ 的概率
由于 $X\sim U(1,4)$，即 $X$ 在区间 $[1,4]$ 上服从均匀分布，其概率密度函数为 $f(x)=\dfrac{1}{4-1}=\dfrac{1}{3}$。因此，事件 $\{ x\gt 2\} $ 的概率为 $p=P(X>2)=\int_{2}^{4}f(x)dx=\int_{2}^{4}\dfrac{1}{3}dx=\dfrac{2}{3}$。
步骤 2：确定事件 $\{ x\gt 2\} $ 发生的次数Y的分布
三次独立试验中，事件 $\{ x\gt 2\} $ 发生的次数Y服从二项分布B(3,p)，其中 $p=\dfrac{2}{3}$。
步骤 3：计算至少有两次观察值大于2的概率
所求的概率为 $P\{ Y\geqslant 2\} =P\{ Y=2\} +P\{ Y=3\} =C_{3}^{2}(1-\dfrac{2}{3}){(\dfrac{2}{3})}^{2}+C_{3}^{3}{(1-\dfrac{2}{3})}^{0}\cdot {(\dfrac{2}{3})}^{3}=\dfrac{20}{27}$。
由于 $X\sim U(1,4)$，即 $X$ 在区间 $[1,4]$ 上服从均匀分布，其概率密度函数为 $f(x)=\dfrac{1}{4-1}=\dfrac{1}{3}$。因此，事件 $\{ x\gt 2\} $ 的概率为 $p=P(X>2)=\int_{2}^{4}f(x)dx=\int_{2}^{4}\dfrac{1}{3}dx=\dfrac{2}{3}$。
步骤 2：确定事件 $\{ x\gt 2\} $ 发生的次数Y的分布
三次独立试验中，事件 $\{ x\gt 2\} $ 发生的次数Y服从二项分布B(3,p)，其中 $p=\dfrac{2}{3}$。
步骤 3：计算至少有两次观察值大于2的概率
所求的概率为 $P\{ Y\geqslant 2\} =P\{ Y=2\} +P\{ Y=3\} =C_{3}^{2}(1-\dfrac{2}{3}){(\dfrac{2}{3})}^{2}+C_{3}^{3}{(1-\dfrac{2}{3})}^{0}\cdot {(\dfrac{2}{3})}^{3}=\dfrac{20}{27}$。