题目

【例21】求极限lim_(xto0^+)(1-sqrt(cos x))/(x(1-cossqrt(x))).

【例21】求极限$\lim_{x\to0^{+}}\frac{1-\sqrt{\cos x}}{x(1-\cos\sqrt{x})}.$

题目解答

答案

将原式分子有理化，得
$\lim_{x \to 0^+} \frac{1 - \sqrt{\cos x}}{x(1 - \cos \sqrt{x})} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1 - \cos x}{x(1 - \cos \sqrt{x})(1 + \sqrt{\cos x})}.$
利用等价无穷小代换：
$1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}, \quad 1 - \cos \sqrt{x} \sim \frac{x}{2}, \quad 1 + \sqrt{\cos x} \to 2 \quad (x \to 0^+).$
代入得
$\lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{x^2}{2}}{x \cdot \frac{x}{2} \cdot 2} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.$
答案： $\boxed{\frac{1}{2}}$

解析

本题考查的知识点是极限的计算，主要运用了分子有理化和等价无穷无穷小代换的方法来求解极限。解题思路如下：

  1. 分子有理化：对于原式$\lim_{x\to0^{+}}\frac{1 - \sqrt{\cos x}}{x(1 - \cos\sqrt{x})}$，为了消除分子中的根式，我们给分子分母同时乘以$1 + \sqrt{\cos x}$，根据平方差公式$(a - b)(a +b)=a^2 - b^2$，则分子$(1 - \sqrt{\cos x})(1 + \sqrt{\cos x})=1^2 - (\sqrt{\cos x})^2 = 1 - \cos x$，所以原式变为$\lim_{x \to 0^+} \frac{1 - \cos x}{x(1 - \cos \sqrt{x})(1 + \sqrt{\cos x})}$。
  2. 等价无穷小代换：
    • 当$x\to0$时，有等价无穷小关系$1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$，这是因为根据泰勒展开式$\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$，当$x\to0$时，高阶无穷小可以忽略，所以$1 - \cos x\approx\frac{x^2}{2}$。
    • 令$t = \sqrt{x}$，当$x\to0^+$时，$t\to0^+$，此时$1 - \cos\sqrt{x}=1 - \cos t$，根据上述等价无穷小关系可得$1 - \cos\sqrt{x}\sim\frac{(\sqrt{x})^2}{2}=\frac{x}{2}$。
    • 当$x\to0^+$时，$\cos x\to1$，那么$\sqrt{\cos x}\to1$，所以$1 + \sqrt{\cos x}\to1 + 1 = 2$。
  3. 计算极限：将等价无穷小代入$\lim_{x \to 0^+} \frac{1 - \cos x}{x(1 - \cos \sqrt{x})(1 + \sqrt{\cos x})}$中，得到$\lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{x^2}{2}}{x\cdot\frac{x}{2}\cdot2}$。
    • 对$\frac{\frac{x^2}{2}}{x\cdot\frac{x}{2}\cdot2}$进行化简，分子分母同时约去$x^2$，可得$\frac{\frac{1}{2}}{2}=\frac{1}{2}$，即$\lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{x^2}{2}}{x\cdot\frac{x}{2}\cdot2}=\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。