题目
求(∫)_(-(π)/(2))^(π)/(2)ta(n)^2x[si(n)^22x+ln（x+sqrt(1+(x)^2)）]dx．
求${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}ta{n}^{2}x[si{n}^{2}2x+ln（x+\sqrt{1+{x}^{2}}）]$dx．
题目解答
答案
解：原式=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}ta{n}^{2}xsi{n}^{2}2xdx+{∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}ta{n}^{2}xln（x+$$\sqrt{1+{x}^{2}}）$dx，设h（x）=tan2xln（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$），因为h（-x）=tan2xln（-x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）=tan2xln$\frac{1}{x+\sqrt{1+{x}^{2}}}$=-h（x），所以h（x）为奇函数，所以${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}ta{n}^{2}xln（x+\sqrt{1+{x}^{2}}）dx=0$，
所以原式=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}ta{n}^{2}xsi{n}^{2}2xdx$
=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}\frac{si{n}^{2}x}{co{s}^{2}x}4si{n}^{2}xco{s}^{2}xdx$
=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}4si{n}^{4}xdx$
=4${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}（1-co{s}^{2}x）^{2}dx$
=4${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}（1-\frac{1+cos2x}{2}）^{2}dx$
=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}（1-cos2x）^{2}dx$
=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}（1-2cos2x+co{s}^{2}2x）dx$
=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}（1-2cos2x+\frac{1+cos4x}{2}）dx$
=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}（\frac{3}{2}-2cos2x+\frac{1}{2}cos4x）dx$
=$（\frac{3}{2}x-sin2x+\frac{1}{8}sin4x）{|}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$
=$\frac{3}{2}π$．
所以原式=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}ta{n}^{2}xsi{n}^{2}2xdx$
=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}\frac{si{n}^{2}x}{co{s}^{2}x}4si{n}^{2}xco{s}^{2}xdx$
=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}4si{n}^{4}xdx$
=4${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}（1-co{s}^{2}x）^{2}dx$
=4${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}（1-\frac{1+cos2x}{2}）^{2}dx$
=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}（1-cos2x）^{2}dx$
=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}（1-2cos2x+co{s}^{2}2x）dx$
=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}（1-2cos2x+\frac{1+cos4x}{2}）dx$
=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}（\frac{3}{2}-2cos2x+\frac{1}{2}cos4x）dx$
=$（\frac{3}{2}x-sin2x+\frac{1}{8}sin4x）{|}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$
=$\frac{3}{2}π$．
解析
步骤 1：将原积分拆分为两个部分
原式=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}ta{n}^{2}xsi{n}^{2}2xdx+{∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}ta{n}^{2}xln（x+\sqrt{1+{x}^{2}}）dx$。
步骤 2：证明第二个积分的被积函数为奇函数
设$h（x）=tan^{2}xln（x+\sqrt{1+{x}^{2}}）$，因为$h（-x）=tan^{2}xln（-x+\sqrt{1+{x}^{2}}）=tan^{2}xln\frac{1}{x+\sqrt{1+{x}^{2}}}=-h（x）$，所以$h（x）$为奇函数，所以${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}ta{n}^{2}xln（x+\sqrt{1+{x}^{2}}）dx=0$。
步骤 3：计算第一个积分
原式=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}ta{n}^{2}xsi{n}^{2}2xdx$=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}\frac{si{n}^{2}x}{co{s}^{2}x}4si{n}^{2}xco{s}^{2}xdx$=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}4si{n}^{4}xdx$=4${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}（1-co{s}^{2}x）^{2}dx$=4${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}（1-\frac{1+cos2x}{2}）^{2}dx$=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}（1-cos2x）^{2}dx$=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}（1-2cos2x+co{s}^{2}2x）dx$=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}（1-2cos2x+\frac{1+cos4x}{2}）dx$=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}（\frac{3}{2}-2cos2x+\frac{1}{2}cos4x）dx$=$（\frac{3}{2}x-sin2x+\frac{1}{8}sin4x）{|}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$=$\frac{3}{2}π$。
原式=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}ta{n}^{2}xsi{n}^{2}2xdx+{∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}ta{n}^{2}xln（x+\sqrt{1+{x}^{2}}）dx$。
步骤 2：证明第二个积分的被积函数为奇函数
设$h（x）=tan^{2}xln（x+\sqrt{1+{x}^{2}}）$，因为$h（-x）=tan^{2}xln（-x+\sqrt{1+{x}^{2}}）=tan^{2}xln\frac{1}{x+\sqrt{1+{x}^{2}}}=-h（x）$，所以$h（x）$为奇函数，所以${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}ta{n}^{2}xln（x+\sqrt{1+{x}^{2}}）dx=0$。
步骤 3：计算第一个积分
原式=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}ta{n}^{2}xsi{n}^{2}2xdx$=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}\frac{si{n}^{2}x}{co{s}^{2}x}4si{n}^{2}xco{s}^{2}xdx$=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}4si{n}^{4}xdx$=4${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}（1-co{s}^{2}x）^{2}dx$=4${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}（1-\frac{1+cos2x}{2}）^{2}dx$=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}（1-cos2x）^{2}dx$=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}（1-2cos2x+co{s}^{2}2x）dx$=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}（1-2cos2x+\frac{1+cos4x}{2}）dx$=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}（\frac{3}{2}-2cos2x+\frac{1}{2}cos4x）dx$=$（\frac{3}{2}x-sin2x+\frac{1}{8}sin4x）{|}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$=$\frac{3}{2}π$。