题目

2.四阶矩阵A且R(A)=2,则R(A^*)=____

2.四阶矩阵A且R(A)=2,则$R(A^{*})$=____

题目解答

答案

已知四阶矩阵 $ A $ 的秩 $ R(A) = 2 $，则 $ A $ 的所有三阶子式均为零。由于伴随矩阵 $ A^* $ 的每个元素是 $ A $ 的三阶子式的代数余子式，因此 $ A^* $ 的所有元素均为零，即 $ A^* $ 为零矩阵。零矩阵的秩为零，故 $ R(A^*) = 0 $。 答案：$\boxed{0}$

解析

本题考查矩阵的秩以及伴随矩阵的性质。解题的关键在于根据矩阵$A$的秩与阶数的关系，判断伴随矩阵$A^*$的元素情况，进而确定$A^*$的秩。

  1. 首先明确伴随矩阵的定义：对于$n$阶矩阵$A=(a_{ij})$，其伴随矩阵$A^*$的元素$A_{ji}$是$A$中元素$a_{ij}$的代数余子式，而代数余子式$A_{ij}=(-1)^{i + j}M_{ij}$，其中$M_{ij}$是$A$去掉第$i$行和第$j$列后得到的$(n - 1)$阶子式。
  2. 已知矩阵$A$是四阶矩阵，即$n = 4$，且$R(A)=2$。根据矩阵秩的定义，矩阵的秩等于其非零子式的最高阶数。这意味着$A$的所有三阶子式（因为$3>2$）均为零。
  3. 由于伴随矩阵$A^*$的每个元素是$A$的三阶子式的代数余子式，而$A$的三阶子式都为零，所以$A^*$的所有元素均为零，即$A^*$为零矩阵。
  4. 最后根据零矩阵的性质，零矩阵的秩为零，所以$R(A^*) = 0$。