求极限lim _(xarrow 0)((dfrac {arcsin x)(x))}^dfrac (1{{x)^2}}=_____。

步骤 1：将原极限问题转化为指数形式
原极限问题可以转化为指数形式，即$\lim _{x\rightarrow 0}{(\dfrac {\arcsin x}{x})}^{\dfrac {1}{{x}^{2}}} = \lim _{x\rightarrow 0}{e}^{\ln (\dfrac {\arcsin x}{x})\cdot \dfrac {1}{{x}^{2}}}$。
步骤 2：利用泰勒展开式
由于$\arcsin x$的泰勒展开式为$x+\dfrac {1}{2}\cdot \dfrac {{x}^{3}}{3}+\dfrac {1\cdot 3}{2\cdot 4}\cdot \dfrac {{x}^{5}}{5}+\cdots \cdots $，因此取前两项来代替$\arcsin x$，即$\arcsin x \approx x+\dfrac {1}{6}{x}^{3}$。
步骤 3：代入泰勒展开式并简化
将$\arcsin x$的近似值代入原极限问题中，得到$\lim _{x\rightarrow 0}{e}^{\dfrac {1}{{x}^{2}}\ln (\dfrac {x+\dfrac {1}{6}{x}^{3}}{x})}$，进一步简化为$\lim _{x\rightarrow 0}{e}^{\dfrac {1}{{x}^{2}}\ln (1+\dfrac {{x}^{2}}{6})}$。
步骤 4：利用等价无穷小
由于$\ln (1+x) \sim x$，因此$\ln (1+\dfrac {{x}^{2}}{6}) \sim \dfrac {{x}^{2}}{6}$，代入原极限问题中，得到$\lim _{x\rightarrow 0}{e}^{\dfrac {1}{{x}^{2}}\cdot \dfrac {{x}^{2}}{6}}$。
步骤 5：计算最终结果
计算得到$\lim _{x\rightarrow 0}{e}^{\dfrac {1}{6}} = {e}^{\dfrac {1}{6}}$。