求极限lim _(xarrow 0)((dfrac {arcsin x)(x))}^dfrac (1{{x)^2}}=_____。

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是涉及指数函数与无穷小量的处理，需要综合运用泰勒展开和等价无穷小替换等方法。

解题核心思路：

1. 指数化处理：将原式转化为自然对数形式，利用$\lim_{x \to 0} a(x)^{b(x)} = e^{\lim_{x \to 0} b(x) \cdot \ln a(x)}$简化计算。
2. 泰勒展开：展开$\arcsin x$的泰勒级数，近似表达式$\frac{\arcsin x}{x}$。
3. 等价无穷小替换：对$\ln(1 + t)$进行展开，忽略高阶无穷小，最终求出极限值。

破题关键点：

• 正确展开$\arcsin x$的泰勒级数，保留到$x^3$项。
• 将$\frac{\arcsin x}{x}$化简为$1 + \frac{x^2}{6} + o(x^2)$，并利用$\ln(1 + t) \approx t$进行近似。
• 结合指数函数的连续性，将极限结果代入$e$的指数中。

步骤1：指数化处理
原式可变形为：
$\lim_{x \to 0} \left( \frac{\arcsin x}{x} \right)^{\frac{1}{x^2}} = \exp\left( \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \cdot \ln \left( \frac{\arcsin x}{x} \right) \right)$

步骤2：泰勒展开$\arcsin x$
$\arcsin x$在$x=0$处的泰勒展开为：
$\arcsin x = x + \frac{1}{6}x^3 + o(x^3)$
因此：
$\frac{\arcsin x}{x} = 1 + \frac{1}{6}x^2 + o(x^2)$

步骤3：展开对数部分
对$\ln\left(1 + \frac{1}{6}x^2\right)$进行泰勒展开（保留主部）：
$\ln\left(1 + \frac{1}{6}x^2\right) \approx \frac{1}{6}x^2$

步骤4：计算极限
将上述结果代入原式：
$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \cdot \frac{1}{6}x^2 = \frac{1}{6}$
因此，原极限为：
$\exp\left( \frac{1}{6} \right) = e^{\frac{1}{6}}$