题目

设X,Y的联合密度为 f(x,y)= { =0 有实根的概率;

$\begin{aligned} &\text{设 }X,Y\text{ 的联合密度为 }f(x,y)=\begin{cases}ky^{2}&0\leq y\leq x\leq1\\0&else\end{cases}, \\ &(1)\text{ 求}k; \\ &(2) \text{求} f_{X}(x),f_{Y}(y) , \text{并判断} X,Y \text{是否独立;} \\ &(3) \text{求方程} f\left(a\right)=a^{2}Y+aX+\frac{1}{4}=0 \text{有实根的概率}; \end{aligned}$

题目解答

答案

$\begin{aligned} &(1)求k的值 \\ &\text{根据联合概率密度函数的性质,有}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dxdy=1\text{。} \\ &对于本题给定的联合密度函数f(x,y)\text{,其积分区域为} \\ &0\leq y\leq x\leq1, \text{则:} \\ &1=\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}ky^{2}dydx \\ &=\int_0^1k\biggl[\frac{1}{3}y^3\biggr]_0^xdx \\ &=\int_0^1\frac{k}{3}x^3dx \\ &=\frac k3\times\frac14x^4\Big|_0^1 \\ &=\frac{k}{12} \\ &\text{解得}k=12。 \end{aligned}$ $\begin{aligned} &(2)求X和Y的边缘概率密度,并判断X与Y是否独 \\ &\text{立} \\ &1.\textbf{ 求 }X\textbf{ 的边缘概率密度 }f_X(x): \\ &\text{根据公式}f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy_\text{,结合本题}f(x,y)\text{的定义} \\ &\text{域:} \\ &f_{X}(x)=\int_{0}^{x}12y^{2}dy \\ &=12\times\frac{1}{3}y^{3}\Big|_{0}^{x} \\ &=4x^{3} \\ &\text{其中}0\leq x\leq1\text{,当}x<0\text{或}x>1\text{时,}f_X(x)=0。 \\ &\text{所以}f_X(x)=\begin{cases}4x^3&0\leq x\leq1\\0&\text{其他}\end{cases}. \end{aligned}$ $\begin{aligned} &\text{2.} \text{求}Y\text{ 的边缘概率密度 }f_Y(y): \\ &\text{根据公式}f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx\text{,结合本题}f(x,y)\text{的定义} \\ &\text{域:} \\ &f_{Y}(y)=\int_{y}^{1}12y^{2}dx \\ &=12y^2(1-y) \\ &\text{其中}0\leq y\leq1\text{,当}y<0\text{或}y>1\text{时,}f_Y(y)=0\text{。} \\ &\text{所以}f_Y(y)=\begin{cases}12y^2(1-y)&0\leq y\leq1\\0&\text{其他}\end{cases}。 \end{aligned}$ $\begin{aligned} &\text{3. 判断 X 与Y 是否独立:} \\ &\text{若}X\text{与}Y\text{独立,则}f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)\text{对任意}(x,y)\text{都成立。} \\ &\text{取}x=\frac{1}{2}\text{,}y=\frac{1}{4}\text{,此时}f(\frac{1}{2},\frac{1}{4})=12\times(\frac{1}{4})^{2}=\frac{3}{4} , \\ &f_{X}(\frac{1}{2})=4\times(\frac{1}{2})^{3}=\frac{1}{2} , \\ &f_{Y}(\frac{1}{4})=12\times(\frac{1}{4})^{2}\times(1-\frac{1}{4})=\frac{9}{16}\text{,而} \\ &f_X(\frac{1}{2})f_Y(\frac{1}{4})=\frac{1}{2}\times\frac{9}{16}=\frac{9}{32}\neq\frac{3}{4}. \\ &所以X与Y不相互独立。 \end{aligned}$ $\begin{aligned} &\textbf{(3) 求方程}f(a)=a^2Y+aX+\frac14=0\textbf{有实根的概率} \\ &\text{方程}a^2Y+aX+\frac14=0\text{有实根的条件是判别式} \\ &\Delta=X^2-Y\geq0\text{,即}P(X^2-Y\geq0)。 \\ &P(X^{2}-Y\geq0) =\int_0^1\int_0^{x^2}12y^2dydx \\ &=\int_0^112\times\frac13y^3\Big|_0^{x^2}dx \\ &=\int_0^14x^6dx \\ &=\frac47x^7\Big|_0^1 \\ &=\frac{4}{7} \end{aligned}$ $\begin{aligned} &\text{综上:} \\ &(1) k=12; \\ &(2) f_X(x)=\begin{cases}4x^3&0\leq x\leq1\\0&\text{其他}\end{cases}, \\ &f_Y(y)=\begin{cases}12y^2(1-y)&0\leq y\leq1\\0&\text{其他}\end{cases}\text{,}X\text{与}Y\text{不相互独立;} \\ &(3)\text{ 方程有实根的概率为}\frac47. \end{aligned}$