15.设随机变量 sim U(0,1) ,当给定 X=x 时,随机变量Y的条件概率密-|||-度为-|||-_(Y|x)(y|x)= { 0, .

步骤 1：求联合概率密度f(x,y)
由题意知，$X\sim U(0,1)$，即 $f_X(x) = 1$，$0 < x < 1$。条件概率密度为 ${f}_{Y|x}(y|x)=$ $\left \{ \begin{matrix} x,\quad 0\lt y\lt \dfrac {1}{x}\\ 0,\end{matrix} \right.$。根据联合概率密度的定义，有 $f(x,y) = f_{Y|x}(y|x) \cdot f_X(x)$，因此
$$
f(x,y) = \begin{cases}
x, & 0 < y < \frac{1}{x}, 0 < x < 1 \\
0, & \text{其他}
\end{cases}
$$
步骤 2：求边缘概率密度fy(y)
边缘概率密度 $f_Y(y)$ 可以通过联合概率密度 $f(x,y)$ 对 $x$ 积分得到，即
$$
f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) dx
$$
根据 $f(x,y)$ 的定义，有
$$
f_Y(y) = \int_{0}^{1} x dx = \begin{cases}
\frac{1}{2}, & 0 < y < 1 \\
\frac{1}{2y^2}, & 1 \leq y < \infty \\
0, & \text{其他}
\end{cases}
$$
步骤 3：求 $P\{ X\gt Y\} $
根据联合概率密度 $f(x,y)$，有
$$
P\{ X\gt Y\} = \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} f(x,y) dy dx = \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} x dy dx = \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3}
$$